CINTA作业七：同态

最新推荐文章于 2025-12-04 17:16:51 发布

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本文探讨了群论中的几个关键性质，并提供了详细的证明过程。包括正规子群的合成、群同态与阿贝尔群的关系、指标为2的子群的正规性及循环群商群的循环性质。

3. 如果 H1 和 H2 是群 G 的正规子群，证明 H1H2 也是群 G 的正规子群。
证明：任取 $h_{1}h_{2},{h_{1}}^{'}{h_{2}}^{'}\in\mathbb{H}_{1}\mathbb{H}_{2},(h_{1}h_{2})({h_{1}}^{'}{h_{2}}^{'})^{-1}=h_{1}h_{2}h_{1}^{'}h_{2}^{'}$ ,
记 $h_{2}h_{1}^{'}=k^{'}$ ,有 $(h_{1}h_{2})({h_{1}}^{'}{h_{2}}^{'})^{-1}=h_{1}(h_{2}^{-1}h_{2})k^{'}{h_{2}}^{'}=h_{1}h_{2}^{-1}(h_{2}k^{'}{h_{2}}^{'})\in\mathbb{G}$

所以H1H2 也是群 G 的正规子群。

5. 定义映射 ϕ : $\mathbb{G} \mapsto \mathbb{G}$ 为： $g \mapsto g^2$ 。请证明 ϕ 是一种群同态当且仅当 G 是阿贝尔群。

充分性： $\forall\, \phi (a\cdot b)=\phi(a)\circ \phi(b)$ ,即 $(ab)^{2}=b^{2}a^{2}=a^{2}\cdot b^{2}$ ,
所以G是阿贝尔群
必要性： $\forall\, a,b\in\mathbb{G},ab=ba$
$\phi (ab)=(ab)^{2}=b^{2}\cdot a^{2}=a^{2}\cdot b^{2}=\phi(a)\circ \phi(b)$
所以ϕ 是一种群同态

7. 证明：如果 H 是群 G 上指标为 2 的子群，则 H 是 G 的正规子群。

证明： $[\mathbb{G}:\mathbb{H}]=2,g\in\mathbb{H},g\mathbb{H}=\mathbb{H}=\mathbb{H}g$
$g\notin\mathbb{H},\forall\, h\in\mathbb{H},gh=h_{1}^{'}\notin\mathbb{H}$ 但 $h_{1}^{'}\in\mathbb{G},\, \, \, \, \, hg=h_{2}^{'}\notin\mathbb{H}$ 但 $h_{2}^{'}\in\mathbb{G}$
即存在 $\mathbb{H}^{'}=\mathbb{G}-\mathbb{H},g\mathbb{H}\in\mathbb{H}^{'},\mathbb{H}g\in\mathbb{H}^{'}$
所以 $g\mathbb{H}=\mathbb{H}^{'}=\mathbb{H}g$ ,则 H 是 G 的正规子群。

9. 证明：如果群 G 是循环群，则商群 G/H 也是循环群。
证明：对 $\forall g\in\mathbb{G},(g\mathbb{H})^{n}=g^{n}\mathbb{H}$ ,
群 G 是循环群， $\mathbb{G}/\mathbb{H}$ 中每个元素都能由 $a^{n}\mathbb{H}$ 生成，故gH为生成元，
G/H 是循环群。