CINTA作业五：循环群

最新推荐文章于 2023-11-22 23:03:37 发布

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本文探讨了循环群的相关概念，包括列举Z10的生成元，分析Z_17^*的生成元数量，证明无非平凡子群的群是循环群，以及论证有限循环群中元素阶与群阶的关系。通过具体计算和数学推理，展示了群论的基本原理。

1、请心算列举出群 Z10 的所有生成元。

$Z_{10}$ 的所有生成元为1，3，7，9。

2. 群 Z_17^* 有多少个生成元?已知 3 是其中一个生成元，请问 9 和 10 是否生成元?

答： $Z_{17}^{*}$ 的阶为16，生成元个数为： $\phi (16)$ =8。

易知，9= $3^{2}$ mod 17，而gcd(2，16)=2≠1，所以9不是生成元。

10= $3^{3}$ mod 17，而gcd(3，16)=1，所以10是生成元。

3、证明：如果群G没有非平凡子群，则群G是循环群。

因为G中没有非平凡子群，即G只有{e}和G两个子群。

设g∈G且g≠e，也就是说{ $g^{k}$ ,k=1,2,3...}∈G

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