CINTA作业一、加减乘除

1. 用 C 语言编程实现一种迭代版本的简单乘法。

   #include<iostream>
   
   using namespace std;
   
   int main()
   
   {
   int sum=0,a, b;
   
   cin >> a >> b;
   
   for (int i = 0; i < b; i++)
   
   {
       sum += a;
   }
   
   return 0;
   
   }

2. 证明命题1.1。
   

   ①、设a、b、c∈Z，如果a|b、b|c，则a|c。
       ∵a|b、b|c
       ∴存在且唯一存在整数m、n满足b=am和c=bn
       ∴c=bn=amn
       ∴c/a=mn，而mn是整数(整数域的乘法闭合)
       ∴a|c成立

   
   ②、设a、b、c∈Z，如果a|b、b|c，则a|c。如果c|a、c|b，则对任意m、n∈Z，有c|(Ma+nb)
       ∵c|a、c|b
       ∴存在且唯一存在整数i、j满足a=ci和b=cj
       ∴ma=cim,nb=cjn
       ∴ma+nb=cim+cjn=c(im+jn)，而im和jn均为整数
       ∴c|(ma+nb)成立

3. 完成定理1.1的证明(除法算法)。
   

   证明包括两部分：存在性和唯一性。
   构造集合S = {a − bk : k ∈ Z 且 a − bk ≥ 0}。
   ①、存在性：
       显然，集合 S 非空。由良序原则，存在一个最小元 r ∈ S，且 r = a − qb。
       因此，a = qb + r, r ≥ 0。
       且由a=qb+r得a/b=q+r/b，显然有a/b≥q，
       而a/b是个有理数，故它的取值范围将限制为q≤a/b＜q+1。（这步的除法感觉是犯规）
       因此q+r/b＜q+1即r/b＜1即r＜b

   
   ②、唯一性：
       假定存在两对整数对q1和r1、q2和r2，且q1≠q2、r1≠r2
       那么有q1b+r1=q2b+r2=a
       ∴(q1-q2)*b=r2-r1。
       ∵q1≠q2，且q1和q2都是整数，
       ∴q1-q2是个非零整数，
       很明显，r2和r1的差值为b的倍数
       无论是r1＞r2还是r1＜r2，其中的一个必然是不满足0≤r＜b这个条件的。