生成函数学习小记

生成函数是什么

一开始没有学的时候，感觉这个东西很高大上，但是后来浅显的了解了一下之后发现，还真的很厉害，反正我这种菜鸡就只能瞎口胡一下。
感觉生成函数比较多的应用在计数类问题上，举个简单的例子，有3个栋栋，那么拿走栋栋的方案数的生成函数为$f(x)=1+3\times x+3\times x^2+x^3$其中$x^i$的系数表示取i个栋栋的方案数。

一般生成函数(OGF–Ordinary Generating Function)

定义$A(x)=\sum _{n\ge 0}A_nx^n$为A的OGF
那么当A表示不同的01串个数时，$A(x)=1+2x+4x^2+8x^3+...=\frac{1}{1-2x}$
而实际做题中，我们一般都是会对一个大数取模，然后取前n项

基本运算

加法

定义$C(x)=A(x)+B(x)$
直接O(n)计算

乘法

定义$D(x)=A(x)B(x)$为A和B的笛卡尔积
使用FFT，时间复杂度O(n log n)

逆元

有$f(x)$，求其逆元$g(x)$（模$x^n$意义下）

$$f(x)g(x)\equiv1\mod x^n$$
$$f(x)g(x)-1\equiv0\mod x^n$$
$$[f(x)g(x)-1]^2\equiv0\mod x^{2n}$$
$$f^2(x)g^2(x)-2f(x)g(x)+1\equiv 0\mod x^{2n}$$
$$f^2(x)g^2(x)-2f(x)g(x)\equiv -1 \mod x^{2n}$$
$$f(x)(f(x)g^2(x)-2g(x))\equiv -1\mod x^{2n}$$
$$f(x)(2g(x)-f(x)g^2(x))\equiv 1\mod x^{2n}$$
那么 $$g'(x)\equiv2g(x)-f(x)g^2(x) \mod x^{2n}$$
$T(n)=T(n/2)+O(n log n)= O(n log n)$

指数生成函数(EGF(Exponential Generating Function))

首先定义带标号对象，不知道怎么表示，用前面的例子：有3个栋栋，那么拿走栋栋的方案数的生成函数为$f(x)=1+3\times x+3\times x^2+x^3$其中$x^i$的系数表示取i个栋栋的方案数，这里面的栋栋之间都是有区别的。
又比如有n个点，点有编号，也就是说点与点之间是不同的。
由于对象带标号，那么拼接起来要考虑相对顺序（或者表意不正确？），比如说将两个对象a,b拼接起来，设|a|=n,|b|=m,那么为了保持相对顺序，就有

$$\begin{pmatrix} n+m\\ n\\ \end{pmatrix}=\frac{(n+m)!}{n!m!}$$
对于带标号对象组成的集合A，定义
$$A(x)=\sum_{n\ge0}A_n\frac{x^n}{n!}$$

基本运算

加法

对于$C(x)=A(x)+B(x)$，直接进行加法，时间复杂度O(n)

乘法

对于$D(x)=A(x)B(x)$，直接多项式乘法即可
其实就是带标号对象的拼接
原因：观察下列式子

$$D_n=\sum_{i\le n}A_i\times B_{n-i}\times \begin{pmatrix}n\\i\\\end{pmatrix}$$
即
$$\frac{D_n}{n!}=\sum_{i\le n}\frac{A_i}{i!}\times\frac{B_{n-i}}{(n-i)!}$$
对于系数来说，我们可以直接进行多项式乘法，因为我们存的的$\frac{A_i}{i!}$（这个才是系数，而不是$A_i$）

逆元

与OGF中写到的一样，不用说了

Something important

下面的A为一个EGF，考虑其拼接
对于下面两种拼接：

$$B(x)=\sum_{i\ge 0}A^i=\frac1{1-A}$$
$$C(x)=\sum_{i\ge 0}\frac{A^i}{i!}=e^A$$
由于EGF中的系数除以了n!，举个形象的小例子：
对于$x^2$和$x^3$的拼接，用B(x)的拼接，可以表示为序列2的排列和3的排列拼接起来，然后得到5的排列，而C(x)的拼接，可以表示为序列2的排列和3的排列拼接，然后得到的是长度为5的序列{12123,12132,12213…}，可能不太严谨，但是大体上应该是没有错的。
再举个大例子：
计算有标号图无向连通图的个数
对于有标号无向图的个数是：
$$G(x)=\sum_{n\ge 0}2^{\begin{pmatrix}n\\2\\\end{pmatrix}}\times \frac{x^n}{n!}$$
对于有标号无向连通图的个数就是
$$C(x)=\sum_{n\ge 0}C_n\times \frac{x^n}{n!}$$
由于有标号无向图相当于有标号无向连通图的拼接，那么就有 $$G(x)=e^{C(x)}$$
（$A^i$中已经将各种各样的无向连通图进行拼接，由于EGF的乘法具有特殊性，那么这里面就相当于12和12拼接起来得到了{1234,1324,1423,2314,2413,3412}，本质上1234和3412是相同的，所以要除以i!）

需要支持的运算

由上例中，我们发现我们需要做的有exp，当然反过来说，我们也要支持对生成函数求ln

ln

考虑

$$g(x)=ln(f(x))$$
对复合函数求导得到：
$$g'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}$$
然后我们要做的就是求导和积分，逆元前面已经说过了，然后时间复杂度就是O(n log n)

exp

考虑

$$g(x)=e^{f(x)}$$

做法一

对两边求导得到：

$$g'(x)=f'(x)e^{f(x)}$$
由于右边为两个生成函数相乘的形式，那么可以使用倍增，通过模$x^n$意义下的$f(x)和g(x)$得到模$x^{2n}$意义下的$g(x)$
分治FFT，时间复杂度$O(n log^2n)$

做法二

牛顿迭代：
对于方程$T(f)=0$，则有

$$0=T(f)=T(f_0)+T'(f_0)(f-f_0)+\frac{T''(f_0)}{2}\times (f-f_0)^2+...$$
设$f\equiv f_0\mod x^n$在模$x^n$意义下有
$$0\equiv T(f_0)+T'(f_0)(f-f_0)\mod x^{2n}$$
即：
$$f\equiv f_0-\frac{T(f_0)}{T'(f_0)}\mod x^{2n}$$
接下来考虑如何应用这个东西：
由于我们要求的是：$g(x)=e^{f(x)}$
那么设$T(g)=ln(g)-f=0$
那么有：
$$g\equiv g_0-\frac{ln(g_0)-f}{\frac1{g_0}}\mod x^{2n}$$
即
$$g\equiv g_0\times (1-ln(g_0)+f)\mod x^{2n}$$
求ln需要n log n,乘法需要n log n时间复杂度分析：
T(n)=T(n/2)+O(n log n)=O(n log n)