生成函数（母函数）

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#算法

于 2021-04-06 17:03:26 首次发布

本文深入探讨了生成函数在解决硬币兑换、整数拆分、组合选取等问题中的应用，并通过具体实例展示了如何利用生成函数解决HDU在线判题系统中的相关题目，如SquareCoins、Ignatius and the Princess III、Holding Bin-Laden Captive!等。此外，还分析了在实现算法时的优化技巧和避免超时的方法。

HDU 1398 Square Coins

HDU 1028 Ignatius and the Princess III

HDU 1085 Holding Bin-Laden Captive!

HDU 1171 Big Event in HDU（0-1背包）

HDU 1709 The Balance

HDU 2152 Fruit

OpenJ_Bailian 4120 硬币

一，生成函数

生成函数也叫母函数，是一种通过数列生成函数，研究函数从而得到数列本身的性质的一种方法。

按照函数形式，分为普通型生成函数、指数型生成函数、狄利克雷生成函数

1，普通型生成函数

用于解决组合问题

2，指数型生成函数

用于解决排列问题

3，狄利克雷生成函数

二，生成函数的应用

1，硬币兑换问题

2，整数拆分问题

3，组合选取问题

4，骰子趣题

问题：

2个点数不正常的骰子，都满足每个面上的点数是正整数（不同的面上可以有相同的点数），而且这2个骰子可以是不同的，独立地随机产生6个面上的点数中的一个。（比如说，如果2个骰子是1 2 3 6 6 8和2 3 3 4 4 4 ，那么和为10的概率就是7/36）神奇的是，2个骰子的点数之和也是2-12，而且出现的概率和点数正常的2个骰子出现2-12的概率对应相等！
那么这2个不正常的骰子点数到底是多少呢？（本题有唯一解）

解法：

求2个正整数系数的多项式，使得他们的乘积恒等于（x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6）^2 ，而且这2个多项式的系数和都是6（因为有6个面），同时，因为题目要求每个面的点数都是正的，所以2个多项式都没有常数项。
变成这样，这个问题就非常简单了。
设这2个多项式是f 和 g ，则f * g =（x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6）^2=x * (x + 1) * (x^2 - x + 1) * (x^2 + x + 1)*x * (x + 1) * (x^2 - x + 1) * (x^2 + x + 1)
根据多项式的唯一分解定理，f 和 g 就是把（x） (x + 1) (x^2 - x + 1) (x^2 + x + 1) （x） (x + 1) (x^2 - x + 1) (x^2 + x + 1) 这8个多项式划分而已。
因为f 和 g没有常数项，所以f 和 g 各含一个（x）
因为f的系数和是f(1)，所以f(1)=6，同理g(1)=6，而（x） (x + 1) (x^2 - x + 1) (x^2 + x + 1)这4个多项式在x=1处的值分别为 1 2 1 3 ，所以f 包含 (x + 1)和(x^2 + x + 1)，g 也包含 (x + 1)和(x^2 + x + 1)
这就是生成函数的神奇之处！
因为是2个不同的骰子，所以 f 和 g 只能一个是x * (x + 1) * (x^2 + x + 1)，另一个是x * (x + 1) * (x^2 - x + 1) * (x^2 + x + 1)* (x^2 - x + 1)，即x^4 + 2 x^3 + 2 x^2 + x 和 x^8 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x
即1个骰子是4 3 3 2 2 1 ，另外一个是8 6 5 4 3 1
ps: 433221可以看成321,432，就是把原来的654变成了432
865431可以看成864,531，就是把原来的642变成了864
至于这到底怎么解释，我记得我当年是理解的，现在已经不记得了。。。

三，OJ实战

HDU 1398 Square Coins

题目：
Description

People in Silverland use square coins. Not only they have square shapes but also their values are square numbers. Coins with values of all square numbers up to 289 (=17^2), i.e., 1-credit coins, 4-credit coins, 9-credit coins, ..., and 289-credit coins, are available in Silverland.
There are four combinations of coins to pay ten credits:

ten 1-credit coins,
one 4-credit coin and six 1-credit coins,
two 4-credit coins and two 1-credit coins, and
one 9-credit coin and one 1-credit coin.

Your miss