【codeforces 1097D Makoto and a Blackboard】【*2200】【dp】【数论】【积性函数】

最新推荐文章于 2020-03-18 22:44:28 发布

lzk_1049668876

最新推荐文章于 2020-03-18 22:44:28 发布

阅读量354

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：积性函数数论 dp *2200 文章标签：积性函数数论 dp *2200

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/running_acmer/article/details/87463091

dp 同时被 3 个专栏收录

25 篇文章

订阅专栏

数论

4 篇文章

订阅专栏

积性函数

2 篇文章

订阅专栏

本文解析了CodeForces上的一道题目，该题要求计算给定数n经过k次因子变换后的期望值。通过使用积性函数和动态规划方法，提供了一种高效的解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

https://codeforces.com/problemset/problem/1097/D

【题意】

给定一个数n，可以进行k次操作，每次操作将数变成它的因子，问期望是多少

【思路】

补充：为什么是积性函数呢？，类似于打表吧。。会发现f(6)=f(2)*f(3)

哈！又知道一种找规律的方法！！！

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const ll maxn = 1e4 + 5;
const ll MOD = 1e9 + 7;;
ll a[maxn];
ll inv[maxn];
ll ans = 0;

void init() {
	inv[1] = 1;
	for (ll i = 2; i <= 1000; i++) {
		inv[i] = (MOD - MOD / i) * inv[MOD % i] % MOD;;
	}
}

ll n, k;
ll dp[maxn][103];//dp[i][j]表示第i轮指数为j的方案数

ll solve(ll x, ll y) {//求x^y的期望
	memset(dp, 0, sizeof(dp));
	dp[0][y] = 1;
	for (ll i = 0; i < k; i++) {
		for (ll j = 0; j <= y; j++) {
			for (ll k = 0; k <= j; k++) {
				dp[i + 1][k] = (dp[i + 1][k] + dp[i][j] * inv[j + 1]) % MOD;
			}
		}
	}
	ll now = 1, sum = 0;
	for (ll i = 0; i <= y; i++) {
		sum = (sum + now * dp[k][i]) % MOD;
		now = now * x%MOD;
	}
	return sum;
}

int main() {	
	while (~scanf("%lld%lld", &n, &k)) {
		init();
		ans = 1;
		for (ll i = 2; i <= sqrt(n); i++) {
			if (n%i == 0) {
				ll cnt = 0;
				while (n%i == 0)cnt++, n /= i;
				ans = ans * solve(i, cnt) % MOD;
			}
		}
		if(n>1)ans = ans * solve(n, 1) % MOD;
		printf("%lld\n", ans);
	}
}