隐含马尔可夫模型——Hidden Markov models (HMM)-优快云博客

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写在前面

统计学是个好东东，说它是个好东东，因为统计学不像其他有些学科，它不仅在科研领域应用广泛，在平常的生活中我们也会经常碰到。当然我们要研究的主要还是在科研领域的应用。
本文讲讲经典的隐含马尔可夫模型，同时说明本文所讲的马尔可夫模型所用的记号都偏向于信号处理的。

隐含马尔可夫模型

隐含马尔可夫模型（HMM）是一个二元变量离散时间过程 $(Xn,Yn)\left ( X_{n},Y_{n} \right )$ ，其中 $X_{n}$ 和 $Y_{n}$ 是两个有限维数的实数随机向量，分别定义如下：
$Xn,n≥0X_{n},n\ge 0$ ，是一个马尔可夫随机过程，即对于任意函数 $f$ ，由 $Xs;s≤n}\left \{ X_{s};s\le n \right \}$ （过去直到 $n$ 的值）产生的 $f(Xn+1)f\left ( X_{n+1} \right )$ 条件期望 $σ\sigma$ 等于由 $Xn}\left \{ X_{n} \right \}$ 产生的 $f(Xn+1)f\left ( X_{n+1} \right )$ 条件期望 $σ\sigma$ 。如果条件概率分布具有概率密度，则可被写为：

$pXn+1∣X0:n(xn+1;x0:n)=pXn+1∣Xn(xn+1;xn)（3−1）p_{X_{n+1}|X_{0:n}}\left ( x_{n+1};x_{0:n} \right ) = p_{X_{n+1}|X_{n}}\left ( x_{n+1};x_{n} \right ) （3-1）$

$Yn,n≥0Y_{n},n\ge 0$ ，是一个随机过程，给定 $X_{0},...,X_{n-1}$ 的 $Y_{0},...,Y_{n-1}$ 条件概率分布是条件 $X_{k}$ 的 $Y_{k}$ 概率分布的乘积。如果条件概率分布具有概率密度，则可被写为：

$pY0:n∣X0:n(y0:n;x0:n)=∏k=0npYk∣Xk(yk;xk)（3−2）p_{Y_{0:n}|X_{0:n}}\left ( y_{0:n};x_{0:n} \right ) = \prod_{k=0}^{n} p_{Y_{k}|X_{k}}\left ( y_{k};x_{k} \right ) （3-2）$