蒙特卡洛方法试验的一般过程和经典例子

前言

蒙特卡洛方法是基于概率统计为基础的近似解求解方法，它是通过大量试验来使近似解逼近准确解，而大量的试验又是基于大数极限理论，试验越多，其解越精确，误差也就越小。下面分别讲述蒙特卡洛试验的解题步骤、实际使用中需要的注意点，最后给出一个最经典的例子（求 $\pi$ 值）作为本文的结束点。

蒙特卡洛方法（或试验）解题的步骤

1. 人为构造或描述问题的概率过程
2. 从已知概率分布中进行抽样（随机变量抽样）
3. 求各统计量的估计
4. 使用统计量的估计最终求近似解

在实际使用中需要的注意点

• 要列出所求问题相关的变量
• 把变量进行分类：随机变量和非随机变量，非随机变量又分为自变量和因变量
• 随机变量涉及了概率分布
• 通过随机变量和非随机变量构造所要求解的统计量
• 通过随机变量的抽样求统计量的估计值
• 使用估计值来替代统计量，从而求得问题的近似解
• 说明：蒙特卡洛方法中，必有随机变量和概率

实例（最经典pi值求解过程-浦丰氏问题）

在十九世纪后期，曾有很多人以任意投掷一根针到地面上，将针与地面上两条平行线相交的频率作为与该
两条平行线相交概率的近似值，然后根据这一概率的理论值求出圆周率 pi 的近似值。

说明：这里的相交不是延长线的相交，而是针与平行线接触，有交点。

首先我们来正确的描述和模拟这个问题

这里我借用了文献上的图片：

变量说明：$2a$ 表示两条平行线的距离，图中虚线是在两平行线的中间，即 $a$ 的位置, $2l$ 是这根针的长度， $l$ 是这个针的半长，$x$ 表示针中心位置到平行线的 y 轴坐标值，$\theta$ 是针与平行线交叉角度

从图中所示，我们可以知道，平面上针的位置是由针中心的坐标位置 和 针与平行线的夹角 $\theta$ 决定的。任意投针，意味着 $x$ 和 $\theta$ 都是任意的（它们是随机变量）。$\theta$的范围为 $\left[0,\pi \right]$，$x$ 的范围为$\left[0,a\right]$。

此时相交的条件为：

$x\le l\sin \theta ,0\le x\le a,0\le \theta \le \pi$

随机变量 $x$ 和 $\theta$ 取值的随意性，说明它们是随机数，是在范围内的随机数，所以它们的分布密度分别为：