前言
蒙特卡洛方法是基于概率统计为基础的近似解求解方法,它是通过大量试验来使近似解逼近准确解,而大量的试验又是基于大数极限理论,试验越多,其解越精确,误差也就越小。下面分别讲述蒙特卡洛试验的解题步骤、实际使用中需要的注意点,最后给出一个最经典的例子(求 π\piπ 值)作为本文的结束点。
蒙特卡洛方法(或试验)解题的步骤
- 人为构造或描述问题的概率过程
- 从已知概率分布中进行抽样(随机变量抽样)
- 求各统计量的估计
- 使用统计量的估计最终求近似解
在实际使用中需要的注意点
- 要列出所求问题相关的变量
- 把变量进行分类:随机变量和非随机变量,非随机变量又分为自变量和因变量
- 随机变量涉及了概率分布
- 通过随机变量和非随机变量构造所要求解的统计量
- 通过随机变量的抽样求统计量的估计值
- 使用估计值来替代统计量,从而求得问题的近似解
- 说明:蒙特卡洛方法中,必有随机变量和概率
实例(最经典pi值求解过程-浦丰氏问题)
在十九世纪后期,曾有很多人以任意投掷一根针到地面上,将针与地面上两条平行线相交的频率作为与该
两条平行线相交概率的近似值,然后根据这一概率的理论值求出圆周率 pi 的近似值。
说明:这里的相交不是延长线的相交,而是针与平行线接触,有交点。
首先我们来正确的描述和模拟这个问题
这里我借用了文献上的图片:
变量说明:2a2a2a 表示两条平行线的距离,图中虚线是在两平行线的中间,即 aaa 的位置, 2l2l2l 是这根针的长度, lll 是这个针的半长,xxx 表示针中心位置到平行线的 y 轴坐标值,θ\thetaθ 是针与平行线交叉角度
从图中所示,我们可以知道,平面上针的位置是由针中心的坐标位置 和 针与平行线的夹角 θ\thetaθ 决定的。任意投针,意味着 xxx 和 θ\thetaθ 都是任意的(它们是随机变量)。θ\thetaθ的范围为 [0,π]\left [ 0, \pi \right ][0,π],xxx 的范围为[0,a]\left [ 0, a \right ][0,a]。
此时相交的条件为:
x≤lsinθ,0≤x≤a,0≤θ≤πx\le l\sin \theta,0\le x\le a,0\le \theta \le \pix≤lsinθ,0≤x≤a,0≤θ≤π
随机变量 xxx 和 θ\thetaθ 取值的随意性,说明它们是随机数,是在范围内的随机数,所以它们的分布密度分别为: