6、弦理论中的紧致化、热力学与对偶性

弦理论中的紧致化、热力学与对偶性

1. 紧致化概述

在研究低能四维理论时，我们假定时空可以表示为乘积形式 (M_{10} = \mathbb{R}^{3,1} \times M_6)，其中 (\mathbb{R}^{3,1}) 是四维闵可夫斯基时空，而 (M_6) 有潜力的候选者是卡拉比 - 丘流形。由于这些流形的特殊性质，低能有效的四维理论能保留部分超对称性。

另一种是膜世界场景，在这种方法中，四个未紧致化维度的闵可夫斯基时空被视为嵌入十维时空中的缺陷，该缺陷由相交和平行的 D - 膜产生。在膜世界模型里，会研究所谓的弯曲紧致化，此时四维闵可夫斯基时空的长度尺度依赖于紧致化维度的坐标，但四维闵可夫斯基时空的庞加莱不变性得以保留。弯曲紧致化的典型度规为：
[ds^2 = e^{2A(y)}g_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu} + e^{-2A(y)}\tilde{g} {ab} dy^{a} dy^{b}]
与 (M {10} = \mathbb{R}^{3,1} \times M_6) 不同，这里的四维和六维空间不再拓扑独立。

2. 卡拉比 - 丘流形上的弦理论

在探讨卡拉比 - 丘流形上的弦理论特征之前，我们需要先定义凯勒流形和卡拉比 - 丘流形。凯勒流形是复流形，其与给定埃尔米特度规相关的基本形式的外导数为零，局部度规满足：
[G_{i\bar{j}} = \frac{\partial^2 K}{\partial z^i\partial \bar{z}^{\bar{j}}}]
其中 (K) 是所谓的凯勒函数。

卡拉比 - 丘 (n) 重流形是 (n)