5、李雅普诺夫稳定性与随机离散时间控制

李雅普诺夫稳定性与随机离散时间控制

1. 李雅普诺夫稳定性基础

李雅普诺夫稳定性分析是控制系统研究中的重要方法，它通过能量函数的概念来判断系统的稳定性。对于一个系统，我们可以定义一个能量函数 (L(x(k)))，并通过计算其差分 (\Delta L(x(k))) 来分析系统的稳定性。

1.1 能量函数差分计算

考虑一个系统，其能量函数的一阶差分定义为：
(\Delta L(x(k)) = L(x(k + 1)) - L(x(k)))
假设能量函数 (L(x(k))) 具有如下形式：
(\Delta L(x(k)) = \frac{1}{2}x_1^2(k + 1) + \frac{1}{2}x_2^2(k + 1) - \frac{1}{2}x_1^2(k) - \frac{1}{2}x_2^2(k))
沿着系统轨迹计算该差分，只需将动力学方程中的状态差分代入即可。在某些情况下，可得到：
(\Delta L(x(k)) = -\frac{1}{2})
需要注意的是，这只是负半定的（当 (x_2(k) \neq 0) 时，(\Delta L(x(k))) 可以为零）。因此，(L(x(k))) 是一个李雅普诺夫函数，但通过这种方法只能表明系统是输入 - 状态稳定（SISL）的，并且 (|x_1(k)|) 和 (|x_2(k)|) 都是有界的。

1.2 利用李雅普诺夫技术进行控制器设计

虽然我们之前仅对无控制输入的无外力系统（形式如 (x(k + 1) = f(x(k)))）进行了李雅普诺夫分析，但这些技术同样为设计反馈控制系统提供了强大的工具。对于形式为 (x(k + 1) =