18、凸学习问题与正则化稳定性

凸学习问题与正则化稳定性

在机器学习领域，学习问题的可学习性和效率是至关重要的研究方向。本文将深入探讨凸学习问题，包括凸 - 利普希茨 - 有界和凸 - 平滑 - 有界学习问题，以及正则化损失最小化（RLM）规则和稳定性的概念。

1. 凸学习问题的约束与挑战

为了解决学习问题，我们可以对假设类添加额外的约束。除了凸性要求，我们还要求假设类 $H$ 是有界的，即对于某个预定义的标量 $B$，每个假设 $w \in H$ 都满足 $|w| \leq B$。然而，仅靠有界性和凸性并不足以确保问题是可学习的。

例如，考虑一个带有平方损失的回归问题，假设类 $H = {w : |w| \leq 1} \subset \mathbb{R}$ 是有界且凸的。但通过特定的分布 $D_1$ 和 $D_2$，可以证明即使满足有界性和凸性，算法仍可能无法有效学习。这表明我们需要对学习问题添加额外的假设，即损失函数的利普希茨性或平滑性。

2. 凸 - 利普希茨/平滑 - 有界学习问题

• 凸 - 利普希茨 - 有界学习问题 ：一个学习问题 $(H, Z, \ell)$ 被称为凸 - 利普希茨 - 有界的，参数为 $\rho, B$，需满足以下条件：
  • 假设类 $H$ 是凸集，且对于所有 $w \in H$，有 $|w| \leq B$。
  • 对于所有 $z \in Z$，损失函数 $\ell(\cdot, z)$ 是凸的且是 $\rho$ - 利普希茨函数。

例如，对于 $X = {x \in \m