12、状态变量滤波器模型详解

状态变量滤波器模型详解

在信号处理领域，线性时不变（LTI）系统的设计与分析至关重要，而传递函数 $H(z)$ 的构建和处理能力是其中的基础。不过，传递函数只能量化滤波器的输入 - 输出行为，无法描述系统架构所定义的内部动态。

状态变量的引入

状态变量代表滤波器存储器或寄存器中的信息。对于一个状态确定的系统，若要计算其未来状态，需满足以下条件：
1. 已知所有过去的状态变量值。
2. 了解状态变量之间的数学关系。
3. 知晓所有未来的输入。

一般来说，多输入多输出（MIMO）离散时间系统由 $P$ 个输入、$R$ 个输出、$N$ 个状态组成，其状态变量表示模型如下：
- 状态方程：$x[k + 1] = A[k]x[k] + B[k]u[k]$
- 初始条件：$x[0] = x_0$
- 输出方程：$y[k] = C^T[k]x[k] + D[k]u[k]$

其中，$A[k]$ 是 $N×N$ 矩阵，$B[k]$ 是 $N×P$ 矩阵，$C[k]$ 是 $N×R$ 矩阵，$D[k]$ 是 $R×P$ 矩阵，$u[k]$ 是任意的 $P×1$ 输入向量，$x[k]$ 是 $N×1$ 状态向量，$y[k]$ 是 $R×1$ 输出向量。若该离散时间系统也是 LTI 系统（即系数恒定），则状态四元组由一组恒定系数矩阵 ${A, B, C, D}$ 组成。

许多重要的离散时间 LTI 滤波器是单输入单输出（SISO）系统，可由 $N$ 阶差分方程建模：
$a_0y[k] + a_1y[k - 1] + \cdots + a_Ny[k - N] = b_0u[k] + b_1u[k