11、无限脉冲响应（IIR）滤波器设计全解析

无限脉冲响应（IIR）滤波器设计全解析

1. 引言

在设计经典的巴特沃斯（Butterworth）、切比雪夫（Chebyshev）或椭圆（elliptic）滤波器时，通常先构建连续时间传递函数 (H(s))，之后再将其转换为离散时间滤波器（即数字滤波器 (H(z))）。实现这种映射的方法有多种，其中脉冲不变变换（impulse invariant transform）和双线性 (z) 变换（bilinear (z) - transform）是两种被广泛接受的常用技术，且这两种方法往往会产生截然不同的结果。

2. 脉冲不变变换

2.1 基本原理

将经典模拟滤波器 (H(s)) 转换为离散时间滤波器 (H(z)) 的一种方法是标准 (z) 变换，也称为脉冲不变变换。该变换能保持系统在采样时刻的连续时间和离散时间脉冲响应之间的联系。假设连续时间滤波器的传递函数为 (H(s))，其脉冲响应为 (h_a(t))，对连续时间脉冲响应进行采样后，得到离散时间脉冲响应 (h_d[k])，且满足 (h_d[k] = h_a(t = kT_s)) （对所有 (k) 成立）。离散时间脉冲响应 (h_d[k]) 的 (z) 变换可以用连续时间脉冲响应 (h_a(t)) 的拉普拉斯变换表示：
[H(z)=\frac{1}{T_s}\sum_{n = -\infty}^{\infty}H_a(s + j\frac{2\pi n}{T_s})\big|_{s=\frac{1}{T_s}\ln z}]

在 (z) 域单位圆的边缘计算上式，可得到离散时间滤波器的频率响应：
[H(e^{j\omega})=\frac{1}{T_s}\sum_{n