13、数字滤波器架构全解析

数字滤波器架构全解析

1. 滤波器架构概述

在数字滤波器设计中，首先要将一组频域指标转化为传递函数 (H(z))。以无限脉冲响应（IIR）滤波器为例，其传递函数 (H(z)) 可由多项式或零极点定义，如下式所示：
[H(z)=\frac{N(z)}{D(z)} = K\frac{\prod_{i = 0}^{N - 1}(z - z_i)}{\prod_{i = 0}^{N - 1}(z - p_i)}]
设计好滤波器后，需要选择合适的实现架构。常见的经典 IIR 架构有直接 I 型和直接 II 型、级联型、并行型、梯形/格型等，这些架构在实时速度、复杂度和精度之间存在不同的权衡。

2. 直接 I 型和直接 II 型架构

架构可看作滤波器的布线图，不同架构的区别在于布线图的细节。具有传递函数 (H(z)) 的系统，最简单的架构表示是直接 I 型，如图 1 所示。但直接 I 型是非典范的，实现 (N) 阶滤波器需要 (2N) 个移位寄存器。

典范的直接 II 型是直接 I 型的改进，实现 (N) 阶 IIR 仅需 (N) 个移位寄存器，具有复杂度低的优势。直接 II 型架构允许进行临时状态分配，将第 (i) 个状态变量 (x_i[k])（(i \in [1, N])）定位在第 (i) 个移位寄存器中。然而，该模型无法方便地将输出 (y[k]) 表示为当前状态 (x_i[k])（(i \in [1, N])）和输入 (u[k]) 的线性组合。通过对直接 II 型进行微小修改，可以解决这个问题。

将 (H(z)) 表示为：
[H(z)=\frac{N(z)}{D(z)}=\frac{b_0 + b_1z^{-1}