30、连续变量量子计算中的逻辑门与操作

连续变量量子计算中的逻辑门与操作

一、海森堡 - 外尔算子

在量子信息处理中，海森堡 - 外尔算子是两个基本的逻辑门。它们的定义如下：
[X (q) = \exp\left(-i\frac{q}{\hbar}\hat{p}\right)]
[Z(p) = \exp\left(i\frac{p}{\hbar}\hat{q}\right)]

利用
[\hat{q} = \sqrt{\frac{\hbar}{2\omega}}(\hat{a} + \hat{a}^{\dagger})]
[\hat{p} = -i\sqrt{\frac{\hbar\omega}{2}}(\hat{a} - \hat{a}^{\dagger})]

可以将其用产生和湮灭算子表示为：
[X (q) = \exp\left[\left(\sqrt{\frac{\omega}{2\hbar}}q\right)(\hat{a}^{\dagger} - \hat{a})\right]]
[Z(p) = \exp\left[i\left(\frac{p}{\sqrt{2\hbar\omega}}\right)(\hat{a}^{\dagger} + \hat{a})\right]]

这些算子可以解释为位移算子 (D(\alpha) = \exp(\alpha\hat{a}^{\dagger} - \alpha^*\hat{a}))，即
[X (q) = D\left(\sqrt{\frac{\omega}{2\hbar}}q\right)]
[Z(p) = D\left(\frac{ip}{\sqrt{2\hbar\om