欧拉角和旋转矩阵之间的转换

在实际编程实践中，特别是使用C++的Eigen库时，需要掌握多种空间旋转表示之间的转换。本文将深入探讨欧拉角与旋转矩阵之间的相互转换，这是使用库时常见的操作。
首先，让我们了解欧拉角。它是指通过围绕三个基本坐标轴旋转来表示三维对象旋转的旋转参数，通常标记为θx, θy, θz。欧拉角有正负之分，与绕轴旋转方向有关。
欧拉角的取值范围通常是从0到360度。旋转顺序和旋转轴的选择对于欧拉角的表示至关重要。欧拉角可以是内旋也可以是外旋，内旋表示围绕自身轴进行的旋转，而外旋是围绕固定轴的旋转。旋转顺序在欧拉角中也起着核心作用，常见的顺序有XYZ、XZX、ZYZ等。
旋转矩阵是另一种用于表示三维旋转的方式。为了从XYZ坐标系变换到一个特定旋转的角度，可以使用一个 3x3 的旋转矩阵。对于绕XYZ三个轴旋转的欧拉角而言，其对应的旋转矩阵可以分为两步来计算：
对于内旋（绕自身轴的旋转），使用矩阵相乘（右乘），计算顺序为 Rz(θz) * Ry(θy) * Rx(θx)，得到旋转矩阵：
　　R = Rz(θz) * Ry(θy) * Rx(θx)
对于外旋（绕固定轴的旋转），使用矩阵相乘（左乘），计算顺序为 R(θx) * R(θy) * R(θz)，得到旋转矩阵：
　　R = R(θx) * R(θy) * R(θz)
这里的 R(α) 表示围绕α轴旋转α角度的旋转矩阵。外旋和内旋的区别在于旋转矩阵的计算顺序，但它们的结果是等价的，即 R1=R2，意味着 ZYX 内旋与 XYZ 外旋相等。
旋转矩阵在机器人学和三维图形学中常常被用于将坐标从一个姿态变换到另一个姿态。当需要将欧拉角转换为旋转矩阵时，只需按照外旋顺序（X-Y-Z）构建矩阵，即：
　　R = Rx(θx) * Ry(θy) * Rz(θz)
这代表将三维空间中的点按照欧拉角指定的顺序和幅度进行旋转。
以下是一个使用 Eigen 库的示例代码片段来演示欧拉角与旋转矩阵之间的转换过程。使用这段代码，可以验证不同方法下的转换结果一致性。
最后的总结是对细节的把握和理解。在实际应用中，准确理解欧拉角的表示、旋转顺序、内旋与外旋的区别，对避免常见的计算错误至关重要。同时，注意欧拉角的定义范围（通常0到360度），正确使用矩阵相乘，选择合适的旋转顺序，都关系着转换结果的准确性。如在本文讨论中的任何误解或错误，请在评论区指出，帮助提高文章的准确性和可操作性。