18、上下文无关文法：原理、应用与实践

上下文无关文法：原理、应用与实践

1. 上下文无关文法简介

上下文无关文法（Context-Free Grammars，CFGs）是一种重要的形式化方法，可用于表示编程语言和自然语言。它能表达许多重要的语言，包括大量非正则语言，还能为单个字符串赋予有用的结构。这两种重要能力使 CFG 在语言的形式模型和计算机语言的实际建模中都发挥着核心作用。

1.1 上下文无关文法的定义

上下文无关文法 G 是一个四元组 (V, Σ, S, P)，各部分含义如下：
- V：有限的非终结符集合（也称为变量）。
- Σ：有限的终结符字母表。
- S：起始符号，且 S ∈ V。
- P：有限的产生式集合，每个产生式的形式为 A → α，其中 A ∈ V，α ∈ (V ∪ Σ)* 。即产生式的左边是一个非终结符，右边是终结符和/或非终结符的任意序列。

1.2 上下文无关文法生成的语言

字符串 x 属于 G 生成的语言 L(G)，当且仅当存在从起始符号推导出 x 的过程，且 x 完全由终结符组成。

1.3 示例

考虑文法 G1 = ({S}, {a, b}, S, {S → a S b, S → ε})，下面是从 G1 的起始符号 S 推导出 aaabbb 的过程：

S => a S b => a a S b b => a a a S b b b => a a a b b b

可以通过归纳法证明，如果第一个产生式使用 k ≥ 0