15、自动机理论与形式语言：正则表达式与上下文无关文法详解

自动机理论与形式语言：正则表达式与上下文无关文法详解

1. 正则表达式基础概念

正则表达式是计算机科学中用于描述字符串模式的重要工具，它与有限自动机紧密相关。以下是正则表达式的一些基础概念：
1. 定义 ：正则表达式可以定义为有限自动机接受的语言或字符串。
2. 基本元素 ：任何终结符号、空字符串（∧）、空集（φ）都是正则表达式。
3. 运算规则 ：两个正则表达式的并集、连接、迭代，或它们的任意组合也是正则表达式。

1.1 Arden 定理

Arden 定理是构造正则表达式的重要工具。如果 P 和 Q 是两个正则表达式，且 P 不包含 Λ，那么对于方程 R = Q + RP，有唯一解 R = QP*。该定理可用于通过代数方法从给定的有限自动机构造正则表达式。

1.2 正则表达式的封闭性

正则表达式在并集、补集和交集运算下是封闭的。这意味着对两个正则表达式进行这些运算后，结果仍然是正则表达式。

1.3 泵引理

泵引理用于证明某些集合不是正则的。如果一个集合不能满足泵引理的条件，那么它就不是正则集合。

2. 正则表达式的描述与构造

2.1 描述正则表达式

可以用英语描述正则表达式所代表的语言。例如：
- a(a + b)*b ：表示以 ‘a’ 开头，以 ‘b’ 结尾，中间是 ‘a’ 和 ‘b’ 的任意组合的字符串集合。
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