齐次线性方程组通解的求解方法及Python实现-优快云博客

求解齐次线性方程组的基础解系和通解，通常涉及以下步骤：

具体步骤：

写出方程组的增广矩阵：将方程组表示为矩阵形式 Ax=0，其中 A 是系数矩阵，x 是变量向量，0 是零向量。
行简化：使用初等行变换将增广矩阵化为行最简形式（Reduced Row-Echelon Form，RREF）。
确定主元和自由变量：在行最简形式中，包含主元（每行的第一个非零元素）的列对应的变量是基本变量，其余变量是自由变量。
求解：对于每个自由变量，将其设为参数，然后解出基本变量的表达式。这些参数化的解构成了基础解系。
写出通解：基础解系的线性组合给出了方程组的通解。

实例分析：

考虑以下齐次线性方程组：

$\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 = 0 \\ 2x_1 + 4x_2 -2 x_3 = 0 \\ x_1 + x_2 +x_3 = 0 \end{cases}$

增广矩阵为：

$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 2 & 4 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{array} \right]$

我们可以通过行简化来求解：

1.从第二行减去第一行的两倍，从第三行减去第一行：

$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ \end{array} \right]$

2.将第二行和第三行交换，并将第三行乘以 -1：

$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]$

3.从第一行减去第二行的两倍：

$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array} \right]$

行最简形式告诉我们 $x_{1}=-3x_{3}$ 和 $x_{2}=2x_{3}$ ，其中 $x_{3}$ 是自由变量。

取 $x_{3}$ =1，故解向量为 $\eta =\left[ \begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array} \right]$ ，通解为 $v=k\eta$ ，其中系数 k是任意常数。

代码展示：

使用Python的NumPy库和sympy库来求解：

import numpy as np
from sympy import symbols, Matrix, Eq

# 定义方程的系数矩阵 A 和常数向量 b
A = np.array([[1, 2, -1],
              [1, 1, 1],
              [2, 4, -2]])

# 使用 NumPy 求解齐次方程组 Ax = 0
# 获取 A 的秩
rank_A = np.linalg.matrix_rank(A)

# 获取 A 的行数
m, n = A.shape

# 如果方程组的秩小于未知数的个数，则存在无穷多解
if rank_A < n:
    # 计算自由变量的个数
    free_vars = n - rank_A
    
    # 使用 numpy 的奇异值分解求基础解系
    U, S, Vt = np.linalg.svd(A)
    null_space = Vt[rank_A:].T  # 提取齐次方程的基础解系

    # 打印基础解系
    print("基础解系:")
    for i in range(null_space.shape[1]):
        print(null_space[:, i])
else:
    print("齐次方程组只有零解。")

这段代码将输出基础解系，即齐次线性方程组的一组线性无关解。这些解构成了方程组解空间的基。通解可以表示为这些基础解向量的线性组合，其中系数 $c_{1},c_{2},...,c_{k}$ 是任意常数。