Cauchy收敛准则证明其他实数完备性定理

1、Cauchy收敛准则证明确界原理

证：

设$S$为非空有上界数集.由实数的阿基米德性,对任何正数$a$，存在整数$K_a$,使得${\lambda }_a=k_{a}a$为$S$的上界,而${\lambda }_a-a=\left(k_a-1\right)a$不是$S$的上界，即存在$a^{\prime }\in S$,使得$a^{\prime }>\left(k_a-1\right)a$

分别取$a=\frac{1}{n},n=1,2,\cdots$,则对每一个正整数$n$,存在相应的${\lambda }_n$,使得${\lambda }_n$为$S$的上界,而
${\lambda }_n-\frac{1}{n}$不是$S$的上界,故存在$a^{\prime }\in S$,使得$a^{\prime }>{\lambda }_n-\frac{1}{n}$

又对正整数$m$，${\lambda }_m$是$S$的上界,故有${\lambda }_m⩾a^{\prime }$.结合$(6)$式得

$${\lambda }_n-{\lambda }_m<\frac{1}{n}$$

同理有

$${\lambda }_m-{\lambda }_n<\frac{1}{m}$$

从而得

$$\left|{\lambda }_m-{\lambda }_n\right|<\max \left\{\frac{1}{n},\frac{1}{m}\right\}$$

于是,对任给的$\epsilon >0$,存在$N>0$,使得当$m,n>N$时有

$$\left|{\lambda }_m-{\lambda }_n\right|<\epsilon$$

由柯西收剑准则,数列{ λn}收敛\textcolor{teal}{数列\{\lambda_n\}收敛}数列{ λn​}收敛.记

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\lambda }_n=\lambda \to (1)$$

$现在证明\lambda 就是S的上确界.$

首先,对任何$a\in S$和正整数$n$有$a\le {\lambda }_n$,由$(1)$式得$a\le \lambda$,即$\lambda$是$S$的一个上界.其次,对任何$\delta >0$,由$\frac{1}{n}\to 0(n\to \infty )$及$(1)$式,对充分大的$n$，同时有

$$\frac{1}{n}<\frac{\delta }{2}，{\lambda }_n>\lambda -\frac{\delta }{2}$$

又因${\lambda }_n-\frac{1}{n}$