关于棣莫弗定理证明的一个延拓

1.复数

我们把形如a+bi的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位，a，b∈R.

在复平面内，任何一个复数都可以表示为r(cosθ+isinθ)的形式，其中，θ叫做该复数的辐角，即该复数在复平面内与实数轴的夹角，r为该复数的模.

2.棣莫弗定理

对于复数Z1，Z2，若：

Z1=r1(cosθ1+isinθ1)
Z2=r2(cosθ2+isinθ2)

则：Z1.Z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]

3.棣莫弗定理的推广

对于复数Z1，Z2，Z3，...，Zn，若：

Z1=r1(cosθ1+isinθ1)
Z2=r2(cosθ2+isinθ2)
Z3=r3(cosθ3+isinθ3)
...
Zn=rn(cosθn+isinθn)

则：Z1.Z2.Z3...Zn=r1r2r3...rn[cos(θ1+θ2+θ3+...+θn)+isin(θ1+θ2+θ3+...+θn)]

一般地，若，Z1=Z2=Z3=...=Zn

则，棣莫弗定理的乘方形式可表为：

[r(cosθ+isinθ)]^n=r^n(cosnθ+isinnθ)

4.棣莫弗定理乘方形式的证明

证明

将e^x,cosx,sinx分别展开成泰勒级数：

e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+...
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!...

将x=ix代入上式

可得欧拉公式：e^ix=cosx+isinx

应用该公式可得：(cosx+isinx)^n=(e^ix)^n=e^inx=cos(nx)+isin(nx)

所以：(cosx+isinx)^n=cos(nx)+isin(nx)

因此：[r(cosθ+isinθ)]^n=r^n(cosnθ+isinnθ)

证毕

5.棣莫弗定理一般形式的证明

证明

对于以下形式：

Z1=r1(cosθ1+isinθ1)
Z2=r2(cosθ2+isinθ2)
Z3=r3(cosθ3+isinθ3)
...
Zn=rn(cosθn+isinθn)

根据：e^iθ=cosθ+isinθ，有：

Z1=r1e^iθ1
Z2=r2e^iθ2
Z3=r3e^iθ3
...
Zn=rne^iθn

所以：Z1.Z2.Z3...Zn=r1r2r3...rne^i(θ1+θ2+θ3+...+θn)

根据：e^iθ=cosθ+isinθ，令，θ=θ1+θ2+θ3+...+θn，有：

e^i(θ1+θ2+θ3+...+θn)=cos(θ1+θ2+θ3+...+θn)+isin(θ1+θ2+θ3+...+θn)

所以：Z1.Z2.Z3...Zn=r1r2r3...rne^i(θ1+θ2+θ3+...+θn)=r1r2r3...rn[cos(θ1+θ2+θ3+...+θn)+isin(θ1+θ2+θ3+...+θn)]

因此：Z1.Z2.Z3...Zn=r1r2r3...rn[cos(θ1+θ2+θ3+...+θn)+isin(θ1+θ2+θ3+...+θn)]

证毕