程序员的自我修养之数学基础11：期望、方差、常见分布（均匀分布、二项分布、泊松分布、正态分布）

最新推荐文章于 2023-11-24 16:17:22 发布

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分类专栏：数学基础文章标签：期望方差泊松分布高斯分布正态分布

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本文介绍了概率论中的重要概念——期望和方差，详细讲解了离散型和连续型随机变量的期望计算，以及方差的定义和计算方法。接着探讨了四种常见分布：均匀分布、二项分布、泊松分布和正态分布，包括它们的期望、方差和应用场景。

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目录

1. 离散型随机变量的期望

2. 连续型随机变量的期望

3. 期望的性质

二、方差和均方差

三、常见分布

1. 均匀分布

2. 二项分布和几何分布

3. 泊松分布

4. 正态分布

一、期望

期望这个概念，初高中就学过了吧，所以这里就简单说一下定义。

1. 离散型随机变量的期望

$\bg_white E(X)=\sum_{k=1}^{n}x_kp_k$

2. 连续型随机变量的期望

$\bg_white E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$

3. 期望的性质

E(cX)=xE(x)
E(X+Y)=E(x)+E(Y)
X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y)

二、方差和均方差

1. 定义

方差，主要用于研究随机变量与其均值的偏离程度：

$D(X)=E[X-E(X)]^2$

均方差又称标准差：

$\sigma (X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{E[X-E(X)]^2}$

2. 计算

设 $g(X)=E[X-E(X)]^2$ ，那么，方差，就相当于g(X)的期望。

因此，对于离散型随机变量，有：

$D(X)=\sum_{k=1}^{n}[x_k-E(X)]^2p_k$

对于连续型随机变量，有：

$D(X)=\int_{-\infty }^{+\infty }[x_k-E(X)]^2f(x)dx$

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