《高等代数学》（姚慕生），例1.5.8

题目

求证
$$\left|A\right|=\left|\begin{array}{ccc}ax+by& ay+bz& az+bx\\ ay+bz& az+bx& ax+by\\ az+bx& ax+by& ay+bz\end{array}\right|=\left(a^3+b^3\right)\left|\begin{array}{ccc}x& y& z\\ y& z& x\\ z& x& y\end{array}\right|.$$

证明

注意到$\left|A\right|$中的每个元素都是两个数的和形式，因此基于行列式的拆解性质（可参考博文《《高等代数学》（姚慕生），习题1.1》的第6题），我们打算将$\left|A\right|$拆分成$2^3=8$个行列式的和。记
$$\overrightarrow{{\xi }_1}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right),\overrightarrow{{\xi }_2}=\left(\begin{array}{c}y\\ z\\ x\end{array}\right),\overrightarrow{{\xi }_3}=\left(\begin{array}{c}z\\ x\\ y\end{array}\right).$$
则有
∣ A ∣ = ∣ a ξ 1 → + b ξ