次对角线行列式的计算

定义

1. 行列式次对角线：设$n$阶行列式
   $$\left|A\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|,$$
   则元素$a_{1n},a_{2,n-1},\cdots ,a_{j,n-j},\cdots ,a_{n-1,2},a_{n1}$所在的这条线称为行列式$\left|A\right|$的次对角线。

2. 次对角线行列式：次对角线元素不全为零，其余元素全为零的行列式。

题目

  求证：$n$阶行列式$$\left|\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& b_1\\ 0& 0& \cdots & b_2& 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& b_{n-1}& \cdots & 0& 0\\ b_n& 0& \cdots & 0& 0\end{array}\right|={\left(-1\right)}^{\frac{1}{2}n\left(n-1\right)}{b}_1{b}_2\cdots b_n.$$

证明

1. 先将行列式中${\left(b_1,0,0,\cdots ,0\right)}^T$一列一步步交换到第$1$列的位置：
   ∣ A 1 ∣ : = ∣ 0 0 ⋯ 0 0 b 1 0 0 ⋯ 0 b 2 0 0 0 ⋯ b 3 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 b n − 1 ⋯ 0 0 0 b n 0 ⋯ 0 0 0 ∣ → ∣ 0 0 ⋯ 0 b 1 0 0 0 ⋯ 0 0 b 2 0 0 ⋯ b 3 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 b n − 1 ⋯ 0 0 0 b n 0 ⋯ 0 0 0 ∣ → ∣ 0 0 ⋯ b 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 b 2 0 0 ⋯ 0 b