抽象代数
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记录学习抽象代数的一些理解和习题。
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Witt向量简介 摘要与目录跳转
《Witt向量简介》是本人的本科毕业论文，方向主要是抽象代数。本文提供论文的中英摘要和目录跳转（传送门）。原创 2021-07-09 00:03:54 · 427 阅读 · 0 评论 -
Witt向量简介 §4.2：环的完备化的若干问题说明
之前的章节有讲到环的完备化问题，但里面一些细节的推敲在正文中由于与主题关系不大，故被略过，现于附录中加以论述。包含：全体柯西列集合C是一个含幺交换环；极限为0的序列集合m是C的一个双边理想；C/m上新定义的映射结构的值存在性问题、良定义问题、赋值结构性的证明。原创 2021-07-08 01:41:27 · 398 阅读 · 0 评论 -
Witt向量简介 §4.1：关于组合数是整数的一种严格证明
内含一个前置引理和最终的组合数是整数定理。原创 2021-07-08 01:35:15 · 860 阅读 · 0 评论 -
Witt向量简介 §3.3.2：原像集为Witt向量环的环态射的态射性验证
本文基于严格p-环结构、Witt环结构、Teichmüller提升的条件，改进原双射的形式并分步骤证明新的双射形式确实是一个环态射，即最终证明了严格p-环的剩余类环上的Witt环同构于原来的严格p-环，由此推论出有限域F_p上的Witt环同构于p-进整数环Z_p。原创 2021-07-08 01:33:36 · 183 阅读 · 0 评论 -
Witt向量简介 §3.3.1：Teichmüller提升简述
本文是对Teichmüller 提升的一个比较系统的介绍。我们先以点集拓扑学的概念：滤子基和柯西滤子基作铺垫，然后提出Teichmüller映射构造的方法并证明它确实是一个提升，接着就是介绍其具有的若干特性，包括将零映射成零、将一映射成一、保持乘法、特定条件下保持加法。原创 2021-07-08 01:27:31 · 154 阅读 · 0 评论 -
Witt向量简介 §3.3：原像集为Witt向量环的环态射
在已经构建起原像集为Witt向量环的双射的基础上，为了使其具有态射性，鉴于该双射含有提升的构造特点，我们必须研究一个经典的提升结构：Teichmüller 提升。本文最后也介绍了后续证明经常要用到的一个引理。原创 2021-07-08 01:22:55 · 192 阅读 · 0 评论 -
Witt向量简介 §3.2.3：Witt环除运算封闭性外的其他环条件的验证
本文是对Witt环结构除运算封闭性外的其他条件的一一验证，分别是：加、乘法满足结合律；加、乘法满足交换律；加、乘法具有运算单位元；加法具有运算逆元；满足两个分配律。原创 2021-07-08 01:16:39 · 170 阅读 · 0 评论 -
Witt向量简介 §3.2.2：Witt环运算封闭性验证
本文先引入两个初等数论定理：素数整除组合数定理、费马小定理，然后一步步导出运算封闭性证明涉及到的两个引理，最后基于这两个引理验证了在Witt运算法则下确实具有环结构。原创 2021-07-08 01:13:31 · 237 阅读 · 0 评论 -
Witt向量简介 §3.2.1：模理想同余简述
出于Witt环结构相关的一些定理命题证明过程的需要，我们简单介绍模理想同余的定义、其充要条件以及一系列基本的性质：自反性、交换性、传递性、满足乘法运算、满足加法运算、满足减法运算以及若干个延伸的其他性质。原创 2021-07-08 00:54:34 · 219 阅读 · 0 评论 -
Witt向量简介 §3.2：Witt向量的环结构概述
本文关注于由含幺交换环上Witt向量构成的集合在什么二元运算下构成环的问题。首先我们验证和肯定了平凡加法和乘法下的环结构。其次，更重要地，引入德国籍数学家Ernst Witt曾经提出过的另一种巧妙的二元运算形式，并且借由论文前面的成果肯定了他如此定义的运算是良定义。本文也给出了3.2节框架下的一些细小的分任务。原创 2021-07-08 00:15:20 · 245 阅读 · 0 评论 -
Witt向量简介 §3.1：Witt多项式
为了认识Witt向量（环），我们先要认识Witt多项式作为奠基。本文介绍了Witt多项式的定义、Witt多项式的递推关系、用Witt多项式反过来表示未知量的性质、π^(-1)的整系数多项式构成的Witt多项式等于Witt多项式的二元多项式的存在性定理、未知量构成的向量相等映射到Witt多项式构成的向量相等。原创 2021-07-08 00:08:44 · 279 阅读 · 0 评论 -
Witt向量简介 论文的参考文献
本人的本科毕业论文：《Witt向量简介》所引用的全部参考文献。原创 2021-07-07 23:58:20 · 178 阅读 · 0 评论 -
Witt向量简介 §2.2：Witt向量的代数背景
本文在引出p-进整数环Z_p的基础上，通过引入提升这个数学概念，构造了有限域F_p的无限直积与Z_p的双射关系，并且指出了这个现象包含在更为一般的环种类：（严格）p-环，即完全环也可以仿照前面的分析得到类似的双射关系。针对完全环的描述和引入过程中又介绍了诸如像Hausdorff拓扑环这样的重要概念。原创 2021-07-07 23:55:24 · 287 阅读 · 0 评论 -
Witt向量简介 §2.1：整数环Z关于p-进赋值的完备化的Z_p表示法
在得到整数环Z关于p-进赋值完备化的投影极限形式的结果后，我们单独研究投影极限的第无穷个分量，发现它包含了前面所有分量的信息，于是又简化了之前得到的完备化结果，得到一个更加简洁的完备化同构表示：Z_p，即p-进整数环。原创 2021-07-07 23:47:50 · 318 阅读 · 0 评论 -
Witt向量简介 §1.3：整数环Z关于p-进赋值的一种完备化结果
主要介绍了关于赋值的柯西列概念以及相应的例子；序列关于赋值收敛的定义以及相应的命题和例子；环关于赋值具有完备性的定义；整数环Z关于平凡赋值和普通赋值都是完备的，但关于p-进赋值不是完备的；环完备化的定义和投影极限形式的同构表示。原创 2021-07-07 23:40:41 · 422 阅读 · 0 评论 -
Witt向量简介 §1.2：三个特殊赋值与Ostrowski定理
主要介绍了三种绝对值结构：平凡绝对值、普通绝对值、p-进绝对值，并且证明他们同时也都是赋值结构，且平凡、p-进赋值具有非阿基米德性，而普通赋值具有阿基米德性。然后引入Ostrowski定理，推导出有理数域上的任意一种赋值等价于上面三种赋值中的一种且仅一种，由此将有理数域上的所有赋值分成可数个等价类。原创 2021-07-07 20:56:29 · 544 阅读 · 0 评论 -
Witt向量简介 §1.1：环上赋值基础
主要介绍了环上赋值的概念；赋值的性质；赋值的分类；非阿基米德的强三角不等式、严格三角等式；度量（空间）的概念；度量拓扑的概念；赋值等价的概念和等价表述。原创 2021-07-07 20:46:02 · 228 阅读 · 0 评论 -
离散赋值环概念 Local Fields by Jean-Pierre Serre, Page 5
对Jean-Pierre Serre著Local Fields里的离散赋值环概念的部分笔记。原创 2020-11-09 16:54:49 · 1193 阅读 · 0 评论 -
环，域，模初探
本文初步介绍了抽象代数中环，域，模的概念以及一些例子和性质原创 2020-10-27 00:47:17 · 701 阅读 · 2 评论 -
抽象代数练习（III）
抽象代数练习题（21-30）原创 2020-06-22 02:52:21 · 932 阅读 · 0 评论 -
抽象代数练习（II）
抽象代数10道练习题（11-20）原创 2020-06-21 20:40:08 · 885 阅读 · 0 评论 -
抽象代数练习（I）
抽象代数10道练习题（I）原创 2020-06-21 17:36:54 · 999 阅读 · 0 评论 -
[Q(√2,√3,√5) : Q]的一种计算方法
记录[Q(√2,√3,√5) : Q]的一种计算方法和相应基组的寻找。原创 2020-06-18 22:23:57 · 2329 阅读 · 0 评论 -
（初探）各类群
本文初步介绍了抽象代数中各类群的概念以及相关的一些性质，命题，例子等原创 2020-06-11 23:09:05 · 446 阅读 · 0 评论 -
Aut(S3)=Inn(S3)的证明和元素寻找
本文主要是用大白话说明一下找S3自同构群的方法，并且顺带证明S3的自同构群=S3的内自同构群，以及简要阐述证明S3和上述两个群也同构的思路。原创 2020-06-11 10:48:21 · 1443 阅读 · 0 评论 -
二元运算，关系，分划
简单介绍二元运算，关系，分划（内含Hw1和Hw2）原创 2020-06-10 00:17:24 · 2770 阅读 · 0 评论 -
p-群，p-子群，Sylow p-子群，共轭类
本文是关于p-群，p-子群，Sylow p-子群，共轭类的笔记，阅读价值不大。原创 2020-05-30 23:16:02 · 9412 阅读 · 0 评论 -
群作用，轨迹，稳定化子，中心化子，正规化子
本文是抽象代数群论中群作用，轨迹，稳定化子，中心化子，正规化子的笔记原创 2020-05-29 19:41:39 · 5735 阅读 · 0 评论