《高等代数学》（姚慕生），习题1.1：二阶行列式

1. 计算下列行列式：
（1）$\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|;$（2）$\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right|.$

解：$$\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|=1\times 4-2\times 3=-2;\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right|=0\times 0-1\times \left(-1\right)=1.$$

2. 计算下面两个行列式并和性质3比较：
（1）$\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 1\end{array}\right|$，$\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ -4& 4\end{array}\right|;$（2）$\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 1\end{array}\right|$，$\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& 3\end{array}\right|.$

解
$$\begin{array}{rl}& \left|\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 1\end{array}\right|=2\times 1-1\times \left(-1\right)=3=2\times 4-1\times \left(-4\right)=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ -4& 4\end{array}\right|,\\ & \left|\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 1\end{array}\right|=2\times 1-1\times \left(-1\right)=3=2\times 3-3\times \left(-1\right)=\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& 3\end{array}\right|.\end{array}$$
验证了性质3：用常数$c$乘以行列式的某一行或者某一列，得到的行列式的值等于原行列式值的$c$倍。

3. 计算下面3个行列式并和性质6比较（第一个行列式的第二行等于后两个行列式第二行之和）：
$$\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 3\end{array}\right|；\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 3& 1\end{array}\right|，\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 2\end{array}\right|.$$

解
$$\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 3\end{array}\right|=3\times 3-2\times 4=1,|$$