初等数论 课堂笔记 第四章 -- 一次同余式

同余式定义

  $m\in {\mathbb{Z}}_{>0}$，$a_i\in \mathbb{Z}$，$f\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$，称
$$f\left(x\right)\equiv 0\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m\right)$$
为模$m$的同余式。若$a_n\cancel{\equiv }0\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m\right)$，则称$n$为该同余式的次数。

定理: $\exists a\in \mathbb{Z},f\left(a\right)\equiv 0\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m\right)\iff \forall x\equiv a\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m\right),f\left(x\right)\equiv 0\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m\right)$

证明

1. $\left(\Leftarrow \right)$
   $a\equiv a\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m\right)$，推理是显然的。
2. $\left(\Rightarrow \right)$
   $\forall x\equiv a\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m\right),x-a\equiv 0\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m\right)\Rightarrow m|\left(x-a\right)\Rightarrow \exists k\in \mathbb{Z},s.t.$
   $$x-a=km\iff a=x-km$$
   $$\begin{array}{c}f\left(a\right)\equiv 0\\ \begin{array}{rl}& \Rightarrow 0\equiv f\left(x-km\right)=a_0+\sum _{j=1}^n{a}_j{\left(x-km\right)}^j\\ & \equiv a_0+\sum _{j=1}^n{\left(x-0\right)}^j=\sum _{j=0}^n{a}_j{x}^j=f\left(x\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m\end{array}\end{array}$$
   
   

定理: 一次同余式$$ax\equiv b\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m\right),a\cancel{\equiv }0\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m\right)$$有（整数）解$\iff \gcd \left(a,m\right)|b$

证明
  a x ≡ b (   m o d   m ) ⇔ a x − b ≡ 0 (   m o d   m ) ⇔ m ∣ ( a x − b ) ⇔ ∃ y ∈ Z ,  s.t .   a x − b = m y ⇔ a x − m y = b \begin{aligned} & \text{ }ax\equiv b\left( \bmod m \right) \\ & \Leftrightarrow ax-b\equiv 0\left( \bmod m \right) \\ & \Leftrightarrow \left. m \right|\left( ax-b \right) \\ & \Leftrightarrow \exists y\in \mathbb{Z},\text{ s}\text{.t}.\text{ }ax-b=my \\ & \Leftrightarrow ax-my=b \\ \end{aligned} ​ ax≡b(modm)⇔ax−b≡0(modm)⇔m∣(ax−b)⇔∃y∈Z, s.t. ax−b=my⇔ax−my=b​
而$ax-my=b$有解$\iff \gcd \left(a,-m\right)=\gcd \left(a,m\right)|b$

例题与练习

1. 解同余式
   $$4x\equiv 13\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}47$$
   解
     $\gcd \left(4,47\right)=1|13$，因此同余式有解。
   $$\begin{array}{rl}& 4x\equiv 13\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}47\\ & \iff \left(4x\cdot 12\right)\equiv \left(13\times 12\right)=156\equiv 15\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}47\\ & \iff 48x\equiv 15\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}47\\ & \iff x\equiv 15\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}47\left(\because 48=47\times 1+1\right)\end{array}$$
   
   

2. 解同余式
   $$10x\equiv 6\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}12\right)$$
   解
   $$\begin{array}{rl}& 10x\equiv 6(\mathrm{m}\mathrm{o}\\ & \\ & \end{array}$$