本文探讨了在实变函数中，具有绝对连续性的可积函数的性质。通过引理和证明过程，展示了如果函数在有界可测集上的积分具有绝对连续性，那么该函数属于L(E)类，即Lebesgue可积。
《实变函数简明教程》，P114，第7题（积分具有绝对连续性 推导 Lebesgue可积）
积分绝对连续性
可测集 E E E上的可积函数 f f f的Lebesgue积分具有绝对连续性是指，对任意的 ε > 0 \varepsilon >0 ε>0，存在 δ > 0 \delta >0 δ>0，使得对 E E E的任意可测子集 E 0 {
{E}_{0}} E0，只要满足 m E 0 < δ m{
{E}_{0}}<\delta mE0<δ，就有
∫ E 0 ∣ f ( x ) ∣ d x < ε . \int_{
{
{E}_{0}}}{\left| f\left( x \right) \right|dx}<\varepsilon . ∫E0∣f(x)∣dx<ε.
待分析命题
若 f f f是有界可测集 E E E上的可测函数，并且它的积分具有绝对连续性，则 f ∈ L ( E ) f\in L\left( E \right) f∈L(E)。
引理：P57，29（2）
若 m E < ∞ mE<\infty mE<∞，则对于任意正数 δ \delta δ， E E E可以分解为有限个测度小于 δ \delta δ的可测集之并。
证明过程
由于 f f f在 E E E上的积分具有绝对连续性，因此 ∀ ε > 0 \forall \varepsilon >0 ∀ε>0， ∃ δ > 0 \exists \delta >0 ∃δ>0，使得对 E E E的任意可测子集 F F F，成立
∫ F ∣ f ( x ) ∣ d x < ε , ∀ F 满 足 m F < δ . (1) \int_{F}{\left| f\left( x \right) \right|dx}<\varepsilon ,\text{ }\forall F满足mF<\delta . \tag{1} ∫F∣f(x)∣dx<ε, ∀F满足mF<δ.(1)
由于可测集 E E E有界，即 m E < ∞ mE<\infty mE<∞，根据课本P57的第29题第（2）小问，对 δ > 0 \delta >0 δ>0， E E E可以分解为有限个测度小于 δ \delta δ的可测集之并，即有
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