2-5 实变函数之积分论

2-5 实变函数之积分论

1.非负简单函数表示及积分

1. 表示：
   $\phi (x)$是E上的一个非负简单函数，记E表示为有限个互不相交的可测集$E_1,...,E_k$的并，且在每个集合上取非负常数$c_i$,即：
   $\phi (x)={\sum }_{i=1}^k{c}_i{\chi }_{E_i}$,其中${\chi }_{E_i}$表示在$E_i$中是1，其他是0.
2. 非负简单函数的勒贝格积分
   ${\int }_A\phi (x)dx={\sum }_{i=1}^k{c}_{i}m{E}_i$

2.非负可测函数的勒贝格积分

1. 定义：若${\int }_{E}f(x)dx<+\infty$则称$f$在E上可测。
2. 定理1：
   I. 若mE=0,则${\int }_{E}f(x)dx=0$
   II. 若${\int }_{E}f(x)dx=0$，则$f(x)=0$ a.e.于E
   III. 若${\int }_{E}f(x)dx<+\infty$则$0\le f<+\infty$ a.e.于E
   IV.$A\bigcap B=\varnothing$,A,B可测，则${\int }_{A\bigcup B}f(x)dx={\int }_{A}f(x)dx+{\int }_{B}f(x)dx$
3. 定理2：若$f,g$在E上非负可测，则
   I. 若$f<g$,${\int }_{E}f(x)dx<{\int }_{E}g(x)dx$
   II. 若$f=g$ a.e.于E，则${\int }_{E}f(x)dx={\int }_{E}g(x)dx$，特别若$f=0$ a.e.于E，则${\int }_{E}f(x)dx=0$.
4. 列维定理（Levi）
   {$f_n$}是E上一列不减非负可测函数，令$f(x)={\lim }_{n\to +\infty }{f}_n$,则 ${\lim }_{n\to +\infty }{\int }_E{f}_n(x)dx={\int }_{E}f(x)dx$
5. 逐项积分定理
   {$f_n$}是E上一列非负可测函数，则${\int }_E({\sum }_{i=1}^{\infty }{f}_n(x))dx={\sum }_{i=1}^{\infty }{\int }_E{f}_n(x)dx$

3. 一般可测函数的勒贝格积分

由上一节2-4 实变函数之可测函数 任意函数都可表示为正部与负部 的差。

1. 定义：若${\int }_E{f}^{+}dx,{\int }_E{f}^{-}dx<+\infty$,则$f(x)$勒贝格可积。
2. 定理1：
   I.$E\ne \varnothing$,但mE=0，则任意实函数f(x)在E上都可积分，且${\int }_{E}f(x)dx=0$
   II.f,g在E上积分确定（即积分值有限），$f\le g$,则${\int }_{E}f(x)dx\le {\int }_{E}g(x)dx$
   III.f,在E上L可积，|f|在E上L可积，则$|{\int }_{E}f(x)dx|\le {\int }_E|f|(x)dx$
3. 定理2：（积分的绝对连续性）E是可测集$f\in L(E)$,对$\forall ϵ>0,\exists \delta >0$，使得任意可测集$A\subseteq E$,只要$mA<\delta$就有$|{\int }_{E}f(x)dx|\le {\int }_E|f|(x)dx<ϵ$.
4. 定理3：(积分的可数可加性)：
   $E={\bigcup }_{i=1}^{\infty }{E}_n$均为可测集，当$i\ne j$时，$E_i\bigcap E_j=\varnothing$.设f可测，则${\int }_{E}f(x)dx={\sum }_{i=1}^{\infty }{\int }_{E_n}f(x)dx$。
5. 定理4：（勒贝格控制收敛定理）
   { f n } \{f_n\} {fn​}是E上一列可测函数，F是E上的非负L可积函数，如果对于任意自然数n，$|f_n|\le F$a.e.于E且${\lim }_{n\to +\infty }{f}_n(x)=f(x)$a.e.于E，则
   I. ${\lim }_{n\to +\infty }{\int }_E|f_n(x)-f(x)|dx=0$
   II. ${\lim }_{n\to +\infty }{\int }_E{f}_n(x)dx={\int }_{E}f(x)dx$

5.R积分与L积分

1. $若f(x)有界，则fR可积⟺fa.e.连续于E。即f不连续点成一零测度集$
2. $设f(x)有界，若fR可积，则fL可积，且(L){\int }_{[a,b]}fdx=(R){\int }_a^{b}fdx$.
3. 设f是$[a,+\infty ]$的非负实函数，若$\forall A>a,f$在$[a,A]$上R可积，且反常积分$(R){\int }_a^{+\infty }fdx$收敛，则f在$[a,A]$上L可积,且
   $(L){\int }_{[a,+\infty ]}fdx=(R){\int }_a^{+\infty }fdx$.