第十二届蓝桥杯 2021年省赛真题 (C/C++ 大学A组) 第二场

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解析移步对应 Java组 的题解。

上课摸的鱼。

有无 $\mathrm{J}\mathrm{A}$ 的题单，有点难找。

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#A 双阶乘

本题总分：$5$ 分

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问题描述

  一个正整数的双阶乘，表示不超过这个正整数且与它有相同奇偶性的所有正整数乘积。$n$ 的双阶乘用 $n!!$ 表示。
  例如：
  $3!!=3\times 1=3$。
  $8!!=8\times 6\times 4\times 2=384$。
  $11!!=11\times 9\times 7\times 5\times 3\times 1=10395$。
  请问，$2021!!$ 的最后 $5$ 位（这里指十进制位）是多少？
  注意：$2021!!=2021\times 2019\times \cdot \cdot \cdot \times 5\times 3\times 1$。
  提示：建议使用计算机编程解决问题。

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答案提交

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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#include <stdio.h>

int ans = 1, n = 2021, p = 100000;

int main() {
   
    while (n > 0)
        ans = ans * n % p, n -= 2;
    printf("%05d", ans);
}

  粪。

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#B 格点

本题总分：$5$ 分

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问题描述

  如果一个点 $(x,y)$ 的两维坐标都是整数，即 $x\in Z$ 且 $y\in Z$，则称这个点为一个格点。
  如果一个点 $(x,y)$ 的两维坐标都是正数，即 $x>0$ 且 $y>0$，则称这个点在第一象限。
  请问在第一象限的格点中，有多少个点 $(x,y)$ 的两维坐标乘积不超过 $2021$，即 $x\cdot y\le 2021$。
  提示：建议使用计算机编程解决问题。

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答案提交

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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朴素解法

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#include <stdio.h>

int ans = 0, n = 2021;

int main() {
   
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (i * j <= n) ans++;
    printf("%d", ans);
}

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倍数法

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  这道题与统计不大于 $2021$ 的自然数中的每个数的因数个数等价。

  因为对于任意不同的自然数 $n=x\times y$，生成其的二元组 $(x,y)$ 互相独立，于是问题等价于上述命题。

  这时我们选用倍数法去统计因数个数之和，即可在 $O(n\log n)$ 的复杂度下计算出答案，这是因为不大于 $n$ 的自然数的因数个数之和约等于 $n\log n$ 个，而倍数法对于每个因数只统计一次。

#include <stdio.h>

int ans = 0, n = 2021;

int main() {
   
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; i * j <= n; j++) ans++;
    printf("%d", ans);
}

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#C 整数分解

本题总分：$10$ 分

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问题描述

  将 $3$ 分解成两个正整数的和，有两种分解方法，分别是 $3=1+2$ 和 $3=2+1$。注意顺序不同算不同的方法。
  将 $5$ 分解成三个正整数的和，有 $6$ 种分解方法，它们是 $1+1+3=1+2+2=1+3+1=2+1+2=2+2+1=3+1+1$。
  请问，将 $2021$ 分解成五个正整数的和，有多少种分解方法？

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答案提交

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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归纳法

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  对于 $n$，$n\in {\mathbb{Z}}^{+}$，设 $n$ 划分 $n^{\prime }$ 个的方案数为 $f_{n,n^{\prime }}$，

  划分为 $1$ 个正整数的方案为一，即 $n$；

  划分为 $2$ 个正整数的方案，有 $n-1$ 种，即 { n − k , k } \{n-k,k\} { n−k,k}，$k\in {\mathbb{Z}}^{+}$，$n\ge 2$；

  划分为 $3$ 个正整数的方案，有 $\frac{(n-1)(n-2)}{2}$ 种，即 $\sum _{i=2}^{n-1}(f_{i,2}\times f_{n-i,1})=\sum _{i=2}^{n-1}(i-1)$，$n\ge 3$；

  划分为 $5$ 个正整数的方案，有 ∑ i = 3 n − 2 ( f i , 3 × f n − i , 2 ) = ∑ i = 3 n − 2 ( i − 1 ) ( i − 2 ) ( n − i − 1 ) 2 = n 2 ∑ i = 3 n − 2 { ( i − 1 ) ( i − 2 ) } − 1 2 ∑ i = 3 n − 2 { ( i 2 − 1 ) ( i − 2 ) } = n 2 ( ( n − 3 ) ( n − 4 ) ( 2 n − 7 ) 6 + ( n + 1 ) ( n − 4 ) 2 − 2 ( n − 4 ) ) − 1 2 ( ( ( n − 2 ) ( n − 3 ) 2 ) 2 + ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( 2 n − 3 ) 6 − ( 2 n − 1 ) ( n − 4 ) − 6 ) \displaystyle\sum_{i = 3}^{n-2} (f_{i,3} ×f_{n-i,2}) = \displaystyle\sum_{i=3}^{n-2} \cfrac{(i-1)(i-2)(n-i-1)}{2} = \frac n2\displaystyle\sum_{i=3}^{n-2}\{(i-1)(i-2)\} - \frac12\displaystyle\sum_{i=3}^{n-2}\{(i^2-1)(i-2)\} = \frac n2\left(\cfrac{(n-3)(n-4)(2n-7)}{6} + \cfrac{(n+1)(n-4)}{2} - 2(n-4)\right) - \frac 12\left((\cfrac{(n-2)(n-3)}2)^2+\cfrac{(n-1)(n-2)(2n-3)}{6}-(2n - 1)(n-4)-6\right) i=3∑n−2​(fi,3​×fn−i,2​)=i=3∑n−2​2(i−1)(i−2)(n−i−1)​=2n​i=3∑n−2​{ (i−1)(i−2)}−21​