第十二届蓝桥杯 2021年省赛真题 (Java 大学B组) 第一场

肖有量

已于 2022-03-04 17:11:01 修改

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文章标签： java 蓝桥杯动态规划数论珂朵莉树

于 2021-10-24 00:31:17 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_43449564/article/details/120926816

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本文详细解析了2021年蓝桥杯省赛的部分算法题目，包括但不限于：ASCII码计算、数字卡片问题、直线方程、货物摆放、最短路径、时间显示实现、最少砝码问题和杨辉三角等。通过朴素解法、分式消除误差、枝剪操作、双向排序去冗、动态规划等算法，展示了如何解决这些问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

蓝桥杯 2021年省赛真题 (Java 大学B组）

#A ASC
#B 卡片
- 朴素解法
- 弯道超车
#C 直线
#D 货物摆放
- 暴力搜索
- 缩放质因子
#E 路径
- 搜索
- 单源最短路径
#F 时间显示
- Java Win
- 不依赖 API 的实现
#G 最少砝码
- 变种三进制
#H 杨辉三角形
- 类比单调数列
#I 双向排序
#J 括号序列
- 动态规划

_Placeholder

#A ASC

本题总分：5 分

问题描述

已知大写字母 $A$ 的 $A S C I I$ 码为 $65$ ，请问大写字母 $L$ 的 $A S C I I$ 码是多少？

答案提交

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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calcCode：

public class Test {
   

    public static void main(String[] args) {
    new Test().run(); }

    void run() {
   
        // System.out.println(65 + 'L' - 'A');
        System.out.println((int)'L');
    }
}

麻烦签到题写的认真一点，谢谢。

#B 卡片

本题总分：5 分

问题描述

小蓝有很多数字卡片，每张卡片上都是数字 $0$ 到 $9$ 。
小蓝准备用这些卡片来拼一些数，他想从 $1$ 开始拼出正整数，每拼一个，就保存起来，卡片就不能用来拼其它数了。
小蓝想知道自己能从 $1$ 拼到多少。
例如，当小蓝有 $30$ 张卡片，其中 $0$ 到 $9$ 各 $3$ 张，则小蓝可以拼出 $1$ 到 $10$ ，但是拼 $11$ 时卡片 $1$ 已经只有一张了，不够拼出 $11$ 。
现在小蓝手里有 $0$ 到 $9$ 的卡片各 $2021$ 张，共 $20210$ 张，请问小蓝可以从 $1$ 拼到多少？
提示：建议使用计算机编程解决问题。

答案提交

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

3181

朴素解法

public class Test {
   

    public static void main(String[] args) {
    new Test().run(); }

    void run() {
    System.out.println(calc(2021)); }

    int calc(int upper) {
   
        int[] count = new int[10];
        for (int n = 1, k = 1; ; k = ++n)
            do
                if (++count[k % 10] > upper)
                	return n - 1;
            while ((k /= 10) > 0);
    }
}

没什么好说的。

弯道超车

观察 $[1, 9]$ 这个区间中， $[0, 9]$ 的出现情况。

在 $[1, 9]$ 中， $1$ 至 $9$ 各出现 $1$ 次。

把观察的范围扩大到 $[1, 99]$ ，十位的 $1$ 出现 $[10, 19]$ 共 $10$ 次，十位的 $2$ 出现 $[20, 29]$ 共 $10$ 次， $\cdots$ ，十位的 $9$ 出现 $[90, 99]$ 共 $10$ 次，低位 $[0, 9]$ 重复出现 $10$ 次， $1$ 至 $9$ 各出现 $20$ 次， $0$ 出现 $9$ 次。

将这个观察范围继续扩大，会发现 $1$ 的使用次数总是不小于 $0$ 、 $2$ 至 $9$ ，也就是说统计 $0$ 、 $2$ 至 $9$ 是没有意义的。

public class Test {
   

    public static void main(String[] args) {
    new Test().run(); }

    void run() {
    System.out.println(calc(20)); }

    int calc(int upper) {
   
        int count = 0;
        for (int n = 1, k = 1; ; k = ++n) {
   
            do
                if (k % 10 == 1) count++;
            while ((k /= 10) > 0);
            if (count > upper) return n - 1;
        }
    }
}

#C 直线

本题总分：10 分

问题描述

在平面直角坐标系中，两点可以确定一条直线。如果有多点在一条直线上，那么这些点中任意两点确定的直线是同一条。
给定平面上 $2 \times 3$ 个整点 ${(x, y)|0 ≤ x < 2, 0 ≤ y < 3, x ∈ Z, y ∈ Z\}$ ，即横坐标是 $0$ 到 $1$ (包含 $0$ 和 $1$ ) 之间的整数、纵坐标是 $0$ 到 $2$ (包含 $0$ 和 $2$ ) 之间的整数的点。这些点一共确定了 $11$ 条不同的直线。
给定平面上 $20 \times 21$ 个整点 ${(x, y)|0 ≤ x < 20, 0 ≤ y < 21, x ∈ Z, y ∈ Z\}$ ，即横坐标是 $0$ 到 $19$ (包含 $0$ 和 $19$ ) 之间的整数、纵坐标是 $0$ 到 $20$ (包含 $0$ 和 $20$ ) 之间的整数的点。请问这些点一共确定了多少条不同的直线。

答案提交

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

40257

直线方程集合

一种朴素的想法，是将所有点连接起来，去掉重复的线，然后统计。

为了方便表示，这里采用斜截式方程 $y = k x + b$ 来表示每一条直线，其中 $k$ 为直线斜率， $b$ 为直线在 $y$ 轴上的截距，并统一不处理斜率不存在的线，将结果加上一个 $20$ 。

注意！ 这段程序的结果是不准确的。

import java.util.HashSet;
import java.util.Set;

public class Test {
   

    public static void main(String[] args) {
    new Test().run(); }

    int X = 20, Y = 21;

    void run() {
   
        Set<Line> set = new HashSet();
        for (int x1 = 0; x1 < X; x1++)
            for (int y1 = 0; y1 < Y; y1++)
                for (int x2 = x1; x2 < X; x2++)
                    for (double y2 = 0; y2 < Y; y2++)
                        if (x1 != x2){
   
                            double k = (y2 - y1) / (x2 - x1);
                            double b = -x1 * k + y1;
                            set.add(new Line(k, b));
                        }
        System.out.println(set.size() + X);
    }

    class Line {
   

        double k, b;

        Line(double b, double k) {
   
            this.k = k;
            this.b = b;
        }

        @Override
        public boolean equals(Object obj) {
   
            return k == ((Line)obj).k && b == ((Line)obj).b;
        }

        @Override
        public int hashCode() {
   
            return (int)k ^ (int)b;
        }
    }
}

分式消除误差

斜率在浮点数表示下，精度那是参差不齐，诚然可以将误差限制在一个范围内，当绝对差落入当中时，我们就将其视为值相同。

但是对于这种需要可表示的范围小的时候，我们可以定义分式来做到无误差，而不是控制精度。

import java.util.HashSet;
import java.util.Set;

public class Test {
   

    public static void main(String[] args) {
    new Test().run(); }

    int X = 20, Y = 21;

    void run() {
   
        Set<Line> set = new HashSet();
        for (int x1 = 0; x1 < X; x1++)
            for (int y1 = 0; y1 < Y; y1++)
                for (int x2 = x1; x2 < X; x2++)
                    for (int y2 = 0; y2 < Y; y2++)
                        if (x1 != x2){
   
                            Fraction k = new Fraction(y2 - y1, x2 - x1);
                            Fraction b = new Fraction(y1 * (x2 - x1) - x1 * (y2 - y1),x2 - x1);
                            set.add(new Line(k, b));
                        }
        System.out.println(set.size() + X);
    }

    class Fraction {
   

        int numerator, denominator;

        Fraction(int numerator, int denominator) {
   
            int gcd = gcd(numerator, denominator);
            this.denominator = denominator /gcd;
            this.numerator = numerator / gcd;
        }

        int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }

        @Override
        public boolean equals(Object obj) {
   
            return this.numerator == ((Fraction)obj).numerator && this.denominator == ((Fraction)obj).denominator;
        }
    }

    class Line {
   

        Fraction k, b;

        Line(Fraction b, Fraction k) {
   
            this.k = k;
            this.b = b;
        }

        @Override
        public boolean equals(Object obj) {
   
            return this.k.equals(((Line)obj).k) && this.b.equals(((Line)obj).b);
        }

        @Override
        public int hashCode() {
   
            return k.denominator;
        }
    }
}

平面几何

这是一个平面直角坐标系，原点与 $(1, 2)$ 连成一条线段。

请添加图片描述
我们将经过这两点的直线，以及这条直线经过的点与该点于横竖轴的垂线标记出来。

显然，若直线经过 $x_{1},y_{1})$ 、 $x_{2},y_{2})$ 两点，那么它必然也经过 $x_{1} +k(x_{1} - x_{2}),y_{1} + k(y_{1} - y_{2}))$ ， $\in Z$ 。

若在连接一条直线时，将所有直线经过的点标记起来，在下次遇到已经标记过的两点，我们便可直接跳过。

public class Test {
   

    public static void main(String[] args) {
    new Test().run(); }

    int X = 20, Y = 21;

    void run() {
   
        int count = 0;
        boolean[][][][] marked = new boolean[X][Y][X][Y];
        for (int x1 = 0; x1 < X; x1++)
            for (int y1 = 0; y1 < Y; y1++) {
   
                marked[x1][y1][x1][y1] = true;
                for (int x2 = 0; x2 < X; x2++)
                    for (int y2 = 0; y2 < Y; y2++) {
   
                        if (marked[x1][y1][x2][y2]) continue;
                        int x = x1, y = y1, xOffset = x - x2, yOffset = y - y2;
                        while (x >= 0 && x < X && y >= 0 && y < Y) {
   
                            x += xOffset;
                            y += yOffset;
                        }
                        x -= xOffset;
                        y -= yOffset;
                        while (x >= 0 && x < X && y >= 0 && y < Y) {
   
                            for (int i = x - xOffset, j = y - yOffset; i >= 0 && i < X && j >= 0 && j < Y; i -= xOffset, j -= yOffset) {
   
                                marked[x][y][i][j] = marked[i][j][x][y] = true;
                            }
                            x -= xOffset;
                            y -= yOffset;
                        }
                        count++;
                    }
            }
        System.out.println(count);
    }
}

我觉得可能会再考个差不多的，这里给大伙一个推论。

平面直角坐标系上有 $n \times n$ ， $\ge 2$ 个点 ${(x, y)|0 ≤ x < n, 0 ≤ y < n, x ∈ Z, y ∈ Z\}$ ，从原点出发可连接的不同直线为 $\leq x,y <n$ ， $\ne y$ 中 $g c d (x, y) = 1$ 的次数加 $3$ 。