第十三届蓝桥杯大赛软件赛省赛（Java 大学A组）

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  小做一会 $\mathrm{J}\mathrm{A}$ 打发时间。

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试题 A: 裁纸刀

本题总分：$5$ 分

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【问题描述】

  小蓝有一个裁纸刀，每次可以将一张纸沿一条直线裁成两半。

  小蓝用一张纸打印出两行三列共 $6$ 个二维码，至少使用九次裁出来，下图给出了一种裁法。

  在上面的例子中，小蓝的打印机没办法打印到边缘，所以边缘至少要裁 $4$ 次。另外，小蓝每次只能裁一张纸，不能重叠或者拼起来裁。

  如果小蓝要用一张纸打印出 $20$ 行 $22$ 列共 $440$ 个二维码，他至少需要裁多少次？

【答案提交】

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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443

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  我们可以仿照两行三列时，题目给出的切分法，写出一个递归程序去计算它的切割次数，

  题目给出的方法可以抽象为两部分，

  $1、$边缘裁剪 $4$ 次。
  $2、$选择当前纸片中连接二维码数量最多的一条线，沿其切割，分割成两个小纸片，重复此步直至纸片的某行或某列为 $1$。

public class Test {
   

    public static void main(String[] args) {
    System.out.println(calc(20, 22) + 4); }

    static int calc(int row, int col) {
   
        if (row > col) return calc(col, row);
        if (col == 1) return row - 1;
        if (row == 1) return col - 1;
        if (row % 2 == 0) return 2 * calc(row / 2, col) + 1;
        return calc(1, col) + 2 * calc(row / 2, col) + 2;
    }
}

  当然这种方式并非绝对最优，一种较为稳妥的方式是在记忆化处理下暴搜，不过总所周知，记忆化搜索是状压 $\mathrm{d}\mathrm{p}$ 的递归实现，由此，我们可以在状态转移方程上研究出最优方案之间的共性，

  设状态 $f_{i,j}$ 为 $i$ 行 $j$ 列的纸片在最优裁剪方案下的步骤数，显然有 $f_{i,j}=f_{j,i}$、$f_{i,1}=i-1$、 f i , j = min ⁡ { f i ′ , j + f i − i ′ , j , f i , j ′ + f i , j − j ′ } + 1 ∣ 1 ≤ i ′ < i , 1 ≤ j ′ < j f_{i,j}=\min\{f_{i',j}+f_{i-i',j},f_{i,j'} +f_{i,j-j'}\}+1|1\leq i' < i,1\leq j' < j fi,j​=min{ fi′,j​+fi−i′,j​,fi,j′​+fi,j−j′​}+1∣1≤i′<i,1≤j′<j，

  当我们知道 $f_{i^{\prime },j}+f_{i-i^{\prime },j}$、$f_{i,j^{\prime }}+f_{i,j-j^{\prime }}$ 中谁更优时，不妨假设当 $i+j=k+g$ 时 $f_{i,j}=f_{k,g}$，

  我们将 $f_{i,j}$ 的表达式变形为 f i , j = min ⁡ { f i ′ , j + f i − i ′ , j + 1 , f i , j ′ + f i , j − j ′ + 1 } − 1 f_{i,j}=\min\{f_{i',j}+f_{i-i',j}+1,f_{i,j'} +f_{i,j-j'}+1\}-1 fi,j​=min{ fi′,j​+fi−i′,j​+1,fi,j′​+fi,j−j′​+1}−1，将 $f_{i,1}=i-1$ 代入式中会发现，无论怎么拆分，最后表达式一定是若干 $f_{1,x}+1$、$f_{y,1}+1$ 和 $-1$ 的累加，其和一定是 $i\times j-1$。

  耶，我们证明切分次数与切分方案无关，

  太棒了，草

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试题 B: 寻找整数

本题总分：$5$ 分

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【问题描述】

  有一个不超过 $10^{17}$ 的正整数 $n$，知道这个数除以 $2$ 至 $49$ 后的余数如下表所示，求这个正整数最小是多少。

【答案提交】

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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2022040920220409

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扩展中国剩余定理

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  对于一元线性同余方程组$：$$$\{\begin{array}{ll}x& \equiv r_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{n}_1)\\ x& \equiv r_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{n}_2)\\ & ⋮\\ x& \equiv r_k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{n}_k)\end{array}$$  方程组的唯一是 $x={\sum }_{i=1}^k{r}_i{m}_i\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{v}(m_i,n_i)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M)$，其中 $M={\prod }_{i=1}^k{n}_1$，$m_i=\frac{M}{n_i}$，$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{v}(a,b)$ 为 $a^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$。

  可是对于 $\gcd (m_i,n_i)\ne 1$ 的情况，$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{v}(m_i,n_i)$ 不存在，此时无法使用 $\mathrm{C}\mathrm{R}\mathrm{T}$ 求解。

  于是引入扩展中国剩余定理 $(\mathrm{E}\mathrm{X}\mathrm{C}\mathrm{R}\mathrm{T})：$

  对于 $k=2$，即方程组为$：$$$\{\begin{array}{ll}x& \equiv r_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{n}_1)\\ x& \equiv r_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{n}_2)\end{array}$$  我们将 $x$ 化为不定方程 $x=n_{1}p+r_1=n_{2}q+r_2$，移项后有 $n_{1}p-n_{2}q=r_2-r_1$，若 $\gcd (n_1,n_2)|(r_2-r_1)$，另 $k=\frac{n_1}{\gcd (n_1,n_2)}$、$g=\frac{n_2}{\gcd (n_1,n_2)}$，容易使用 $\mathrm{E}\mathrm{X}\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{D}$ 找到一组 $p,q$ 使得 $kp+qg=1$，此时 $x^{\ast }=n_{1}p+r_1=\frac{r_2-r_1}{\gcd (n_1,n_2)}p+r_1$ 同时满足两式。

  当然题目中的方程数列为 $48$，我们需要将 $x$ 推广到更一般的形式来计算出满足全部方程的 $x$，若 $x$ 存在，容易对满足 $x\equiv r_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{n}_1)$、$x\equiv r_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{n}_2)$ 的特解 $x^{\ast }=n_{1}p+r_1$ 构造出平凡解系 $x^{\ast }+k\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}(n_1,n_2)$，将两式化为一元线性同余方程 $x\equiv x^{\ast }(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}(n_1,n_2))$。

  这个结论是显然的，但在此之上还有个推论就是一个完全剩余系中有且仅有一个解，

  不想证，摆了。

  不过这题用 $\mathrm{J}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{a}$ 实现起来较为恶心，因为 $(1,49]$ 中的质数有 $15$ 个，粗劣估计它们的乘积一定是会爆 long，

  叹息。

import java.math.BigInteger;

public class Test {
   

    public static void main(String[] args) {
    new Test().run(); }

    int[] R = {
    0, 0, 1, 2, 1, 4, 5, 4, 1, 2, 9, 0, 5, 10, 11, 14, 9, 0, 11, 18, 9, 11, 11, 15, 17, 9, 23, 20, 25, 16, 29, 27, 25, 11, 17, 4, 29, 22, 37, 23, 9, 1, 11, 11, 33, 29, 15, 5, 41, 46 };

    void run() {
   
        BigInteger M = BigInteger.valueOf(2), r = BigInteger.ONE;
        for (int i = 3; i <= 49; ++i) {
   
            BigInteger d = exgcd(M, BigInteger.valueOf(i));
            exgcd(M.divide(d), BigInteger.valueOf(i).divide(d));
            r = r.add(BigInteger.valueOf(R[i]).subtract(r).divide(d).multiply(p).multiply(M));
            M = lcm(M, BigInteger.valueOf(i));
            r = r.mod(M);
        }
        System.out.println(r);
    }

    BigInteger p, q;

    BigInteger exgcd(BigInteger a, BigInteger b) {
   
        if (b.equals(BigInteger.ZERO)) {
   
            q = BigInteger.ZERO;
            p = BigInteger.ONE;
            return a;
        }