第十一届蓝桥杯 2020年国赛真题 (Java 大学A组)

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  做套题打发下时间。

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#A 合数个数

本题总分：$5$ 分

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问题描述

  一个数如果除了 $1$ 和自己还有其他约数，则称为一个合数。例如：$1,2,3$ 不是合数，$4,6$ 是合数。

  请问从 $1$ 到 $2020$ 一共有多少个合数。

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答案提交

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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1713

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埃氏筛

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public class Test {
   

    static int N = 2020, ans = 0;

    public static void main(String[] args) {
   
        boolean[] factor = new boolean[N + 1];
        for (int i = 2; i <= N; i++)
            if (!factor[i])
                for (int j = i << 1; j <= N; j += i) factor[j] = true;
            else ans++;
        System.out.println(ans);
    }
}

  无他，签到尔。

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#B 含 2 天数

本题总分：$5$ 分

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问题描述

  小蓝特别喜欢 $2$，今年是公元 $2020$ 年，他特别高兴，因为每天日历上都可以看到 $2$。

  如果日历中只显示年月日，请问从公元 $1900$ 年 $1$ 月 $1$ 日到公元 $9999$ 年 $12$ 月 $31$ 日，一共有多少天日历上包含 $2$。即有多少天中年月日的数位中包含数字 $2$。

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答案提交

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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1994240

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所以 Java 是世界上最好的语言

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import java.time.LocalDate;

public class Test {
   

    static int ans = 0;

    public static void main(String[] args) {
   
        LocalDate start = LocalDate.of(1900, 1, 1);
        LocalDate end = LocalDate.of(9999, 12, 31);
        while (start.compareTo(end) <= 0) {
   
            if (start.toString().contains("2")) ans++;
            start = start.plusDays(1);
        }
        System.out.println(ans);
    }
}

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归纳法

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  首先答案可以分为两部分，

  一、年份数位中包含数字 $2$ 的个数。

  二、年份数位中不含数字 $2$ 的个数。

  两部分分别计算，而对于闰年，因为闰月为 $2$ 月份，也就是包含闰月的时间一定包含 $2$，故我们将 $1900$ 至 $9999$ 之间所有年份都视为平年，再在答案上累加一个闰年数即可。

  现在来讨论一个平年中，月日部分某数位包含 $2$ 的情况，我们先将 $2$、$12$ 分离出来，计为 $28+31$，其余的部分因为 $30$ 、$31$ 日以及月份都不包含 $2$，于是我们将 $1\sim 9$ 日、$10\sim 19$ 日、$20\sim 29$ 日中包含的 $2$ 的月份累加为 $1＋1+10$，对于一个平年的日月部分，包含有 $2$ 的个数为 $179$。

  然后讨论 $1900\sim 9999$ 中包含有 $2$ 的年份，对此可以拆分为 $100k\sim 100k+99$，$k\in [19,99]$ 的若干个小区间，再从中剔除 k = { [ 20 , 29 ] , 32 , 42 , ⋯   , 92 } k = \{[20,29],32,42,\cdots,92\} k={ [20,29],32,42,⋯,92} 这 $17$ 个区间，接下来的区间中，个十位包含 $2$ 的有 $100k+2,100k+12,100k+[20,29],\cdots ,100k+92$ 即 $19$ 个，综上年份包含 $2$ 的年份个数为 $\frac{19}{100}(9999-1900+1-1700)+1700=1216$，不包含的则为 $9999-1900+1-1216=5184$。

  最后就是统计 $1900$ 至 $9999$ 之间的闰年，根据容斥原理，设 $f_{year}$ 为 $1$ 至 $year$ 年之间的闰年数，则 $f_{year}=\lfloor \frac{year}{4}\rfloor -\lfloor \frac{year}{100}\rfloor +\lfloor \frac{year}{400}\rfloor$，给定年份之间的闰年数为 $f_{9999}-f_{1899}=1964$。

  综上，答案为 $1216\times 365+5184\times 179+1964=1994240$。

  由于网络上不依赖 $\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{I}$ 实现的程序完成题目所述功能的程序有很多，这里便不再费这个精力去编写了。

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#C 本质上升序列

本题总分：$10$ 分

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问题描述

  小蓝特别喜欢单调递增的事物。
  在一个字符串中，如果取出若干个字符，将这些字符按照在字符串中的顺序排列后是单调递增的，则成为这个字符串中的一个单调递增子序列。
  例如，在字符串 $\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{q}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{o}$ 中，如果取出字符 $\mathrm{n}$ 和 $\mathrm{q}$，则 $\mathrm{n}\mathrm{q}$ 组成一个单调递增子序列。类似的单调递增子序列还有 $\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{q}$、$\mathrm{i}$、$\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{o}$ 等等。
  小蓝发现，有些子序列虽然位置不同，但是字符序列是一样的，例如取第二个字符和最后一个字符可以取到 $\mathrm{a}\mathrm{o}$，取最后两个字符也可以取到 $\mathrm{a}\mathrm{o}$。
  小蓝认为他们并没有本质不同。
  对于一个字符串，小蓝想知道，本质不同的递增子序列有多少个？
  例如，对于字符串 $\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{q}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{o}$，本质不同的递增子序列有 $21$ 个。它们分别是 $\mathrm{l}$、$\mathrm{a}$、$\mathrm{n}$、$\mathrm{q}$、$\mathrm{i}$、$\mathrm{o}$、$\mathrm{l}\mathrm{n}$、$\mathrm{a}\mathrm{n}$、$\mathrm{l}\mathrm{q}$、$\mathrm{a}\mathrm{q}$、$\mathrm{n}\mathrm{q}$、$\mathrm{a}\mathrm{i}$、$\mathrm{l}\mathrm{o}$、$\mathrm{a}\mathrm{o}$、$\mathrm{n}\mathrm{o}$、$\mathrm{i}\mathrm{o}$、$\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{q}$、$\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{q}$、$\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{o}$、$\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{o}$、$\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{o}$。
  请问对于以下字符串（共 $200$ 个小写英文字母，分四行显示）：（如果你把以下文字复制到文本文件中，请务必检查复制的内容是否与文档中的一致。在试题目录下有一个文件 inc.txt，内容与下面的文本相同）

tocyjkdzcieoiodfpbgcncsrjbhmugdnojjddhllnofawllbhf
iadgdcdjstemphmnjihecoapdjjrprrqnhgccevdarufmliqij
gihhfgdcmxvicfauachlifhafpdccfseflcdgjncadfclvfmad
vrnaaahahndsikzssoywakgnfjjaihtniptwoulxbaeqkqhfwl

  本质不同的递增子序列有多少个？

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答案提交

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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3616159

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动态规划

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  首先考虑上升子序列问题，即子串可以相同的情况。

  设 $f_i$ 为以字符串 $S[1,n]$ 第 $i$ 个字符结尾的最长递增子序列的个数，则总个数为 ${\sum }_{i=1}^n{f}_i$，状态转移方程为 $f_i={\sum }_{j=1}^{i-1}{f}_j(S[i]>S[j])$。

  为了避免出现重复子串，考虑互斥的划分方式，

  有状态 $f_{i,c}$ 表示到第 $i$ 个字符为止，以 $c$ 结尾的本质不同子串的个数为多少，显然答案为 ${\sum }_c{f}_{n,c}$。

  可是如何保证不重不漏呢？

  对于 $c\ne S[i]$，显然有 $f_{i,c}=f_{i-1,c}$，而对于 $c=S[i]$ 的情况，考虑重新统计即 $f_{i,c}={\sum }_{c^{\prime }=1}^{c-1}{f}_{i-1,c^{\prime }}$，不重是做到了，即可不重不漏。

   证明半天证明了一坨屎，其实可以用反证法，但反证太无聊了。

import java.io.FileInputStream;
import java.io.FileNotFoundException;
import java.util.Scanner;

public class Test {
   

    public static void main(String[] args) {
     new Test().run(); }

    void run() {
   
        try(