第十三届蓝桥杯大赛软件赛省赛（C/C++ 大学A组）

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  One more time, One more chance - Uru ♪

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试题 A: 裁纸刀

本题总分：$5$ 分

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【问题描述】

  小蓝有一个裁纸刀，每次可以将一张纸沿一条直线裁成两半。

  小蓝用一张纸打印出两行三列共 $6$ 个二维码，至少使用九次裁出来，下图给出了一种裁法。

  在上面的例子中，小蓝的打印机没办法打印到边缘，所以边缘至少要裁 $4$ 次。另外，小蓝每次只能裁一张纸，不能重叠或者拼起来裁。

  如果小蓝要用一张纸打印出 $20$ 行 $22$ 列共 $440$ 个二维码，他至少需要裁多少次？

【答案提交】

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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443

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  设状态 $f_{i,j}$ 为 $i$ 行 $j$ 列的纸片在最优裁剪方案下的步骤数，显然有 $f_{i,j}=f_{j,i}$、$f_{i,1}=i-1$、 f i , j = min ⁡ { f i ′ , j + f i − i ′ , j , f i , j ′ + f i , j − j ′ } + 1 ∣ 1 ≤ i ′ < i , 1 ≤ j ′ < j f_{i,j}=\min\{f_{i',j}+f_{i-i',j},f_{i,j'} +f_{i,j-j'}\}+1|1\leq i' < i,1\leq j' < j fi,j​=min{ fi′,j​+fi−i′,j​,fi,j′​+fi,j−j′​}+1∣1≤i′<i,1≤j′<j，

  我们将 $f_{i,j}$ 的表达式变形为 f i , j = min ⁡ { f i ′ , j + f i − i ′ , j + 1 , f i , j ′ + f i , j − j ′ + 1 } − 1 f_{i,j}=\min\{f_{i',j}+f_{i-i',j}+1,f_{i,j'} +f_{i,j-j'}+1\}-1 fi,j​=min{ fi′,j​+fi−i′,j​+1,fi,j′​+fi,j−j′​+1}−1，将 $f_{i,1}=i-1$ 代入式中会发现，无论怎么拆分，最后表达式一定是若干 $f_{1,x}+1$、$f_{y,1}+1$ 和 $-1$ 的累加，其和一定是 $i\times j-1$。

  所以切分次数与切分方案无关，都是 $i\times j-1$。

#include <stdio.h>

int n = 20, m = 22;

int main() {
   
    printf("%d", n * m + 3);
}

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试题 B: 灭鼠先锋

本题总分：$5$ 分

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【问题描述】

  灭鼠先锋是一个老少咸宜的棋盘小游戏，由两人参与，轮流操作。

  灭鼠先锋的棋盘有各种规格，本题中游戏在两行四列的棋盘上进行。游戏的规则为：两人轮流操作，每次可选择在棋盘的一个空位上放置一个棋子，或在同一行的连续两个空位上各放置一个棋子，放下棋子后使棋盘放满的一方输掉游戏。

  小蓝和小乔一起玩游戏，小蓝先手，小乔后手。小蓝可以放置棋子的方法很多，通过旋转和翻转可以对应如下四种情况$：$

 $\mathrm{X}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}$ $\mathrm{X}\mathrm{X}\mathrm{O}\mathrm{O}$ $\mathrm{O}\mathrm{X}\mathrm{O}\mathrm{O}$ $\mathrm{O}\mathrm{X}\mathrm{X}\mathrm{O}$
 $\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}$ $\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}$ $\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}$ $\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}$

  其中 $\mathrm{O}$ 表示棋盘上的一个方格为空，$\mathrm{X}$ 表示该方格已经放置了棋子。

  请问，对于以上四种情况，如果小蓝和小乔都是按照对自己最优的策略来玩游戏，小蓝是否能获胜。如果获胜，请用 $\mathrm{V}$ 表示，否则用 $\mathrm{L}$ 表示。请将四种情况的胜负结果按顺序连接在一起提交。

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【答案提交】

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个长度为 $4$ 的由大写字母 $\mathrm{V}$ 和 $\mathrm{L}$ 组成的字符串，如 $\mathrm{V}\mathrm{V}\mathrm{L}\mathrm{L}$，在提交答案时只填写这个字符串，填写多余的内容将无法得分。

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VVVL

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SG 函数

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  标题应该起博弈论的，但我代码都写完了就懒得改了。

  根据公平组合游戏定理有$：$

  $1)：$没有后继状态的状态是必败状态。
  $2)：$一个状态是必胜状态，当且仅当存在至少一个必败状态为它的后继状态。
  $3)：$一个状态是必败状态，当且仅当它的所有后继状态均为必胜状态。

  显然棋盘被放满是一个必胜状态，以它作为递归函数出口，然后根据公平组合游戏定理递归就行。

#include <stdio.h>

int SG(int line1, int line2) {
   
    if (line1 == 0b1111 && line2 == 0b1111) return 1;
    if ((line1 & 0b1000) == 0)
        if (!SG(line1 | 0b1000, line2)) return 1;
    if ((line2 & 0b1000) == 0)
        if (!SG(line1, line2 | 0b1000)) return 1;
    for (int i = 0; i < 3; ++i) {
   
        if ((line1 & (1 << i)) == 0)
            if (!SG(line1 | (1 << i), line2)) return 1;
        if ((line2 & (1 << i)) == 0)
            if (!SG(line1, line2 | (1 << i))) return 1;
        if ((line1 & (0b11 << i)) == 0)
            if (!SG(line1 | (0b11 << i), line2)) return 1;
        if ((line2 & (0b11 << i)) == 0)
            if (!SG(line1, line2 | (0b11 << i))) return 1;
    }
    return 0;
}

int main() {
   
    printf("%c", SG(0b1000, 0b0000) ? 'V' : 'L');
    printf("%c", SG(0b1100, 0b0000) ? 'V' : 'L');
    printf("%c", SG(0b0100, 0b0000) ? 'V' : 'L');
    printf("%c", SG(0b0110, 0b0000) ? 'V' : 'L');
}

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试题 C: 求和

时间限制: $1.0\mathrm{s}$ 内存限制: $256.0\mathrm{M}\mathrm{B}$ 本题总分：$10$ 分

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【问题描述】

  给定 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$，求它们两两相乘再相加的和，即$$S=a_1\cdot a_2+a_1\cdot a_3+\cdots +a_1\cdot a_n+a_2\cdot a_3+\cdots +a_{n-2}\cdot a_{n-1}+a_{n-2}\cdot a_n+a_{n-1}\cdot a_n。$$

【输入格式】

  输入的第一行包含一个整数 $n$ 。

  第二行包含 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$。

【输出格式】

  输出一个整数 $S$，表示所求的和。请使用合适的数据类型进行运算。

【样例输入】

4
1 3 6 9

【样例输出】

117

【评测用例规模与约定】

  对于 $30\%$ 的数据，$1\le n\le 1000，1\le a_i\le 100$。
  对于所有评测用例，$1\le n\le 200000，1\le a_i\le 1000$。

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公式递推

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  将 $S$ 中包含 $a_1$ 的项整理出来，有：

  $S=a_1\cdot (a_2+a_3+\cdots +a_n)+a_2\cdot a_3+\cdots +a_{n-2}\cdot a_{n-1}+a_{n-2}\cdot a_n+a_{n-1}\cdot a_n$

  同样的将余项中包含 $a_2$、$a_3$、$\cdots$、$a_n$ 的项整理出来：

  $\begin{array}{rl}S& =a_1\cdot (a_2+a_3+\cdots +a_n)+a_2\cdot (a_3+a_4+\cdots +a_n)+\cdots +a_{n-1}\cdot a_n\\ & =a_1\cdot \sum _{i=2}^n{a}_i+a_2\cdot \sum _{i=3}^n{a}_i+\cdots +a_{n-1}\cdot \sum _{i=n}^n{a}_i\end{array}$

  也就 $S$ 等于每个元素乘以右边所有元素的和的和，考虑到实现计算的代码量，我们将 $S$ 的项重排，重新整理出：

   S = a 1 ⋅ ∑ i = 1 0 a i + a 2 ⋅ ∑ i = 1 1 a i + ⋯ + a n ⋅