第十二届蓝桥杯 2021年省赛真题 (Java 大学A组) 第一场

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#A 相乘

本题总分：$5$ 分

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问题描述

  小蓝发现，他将 $1$ 至 $1000000007$ 之间的不同的数与 $2021$ 相乘后再求除以 $1000000007$ 的余数，会得到不同的数。
  小蓝想知道，能不能在 $1$ 至 $1000000007$ 之间找到一个数，与 $2021$ 相乘后再除以 $1000000007$ 后的余数为 $999999999$。如果存在，请在答案中提交这个数；
  如果不存在，请在答案中提交 $0$。

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答案提交

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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朴素解法

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  朴素的去枚举 $[1,1000000007]$ 中的每一个数，看似不明智，但实际上，

  对于现代的 $\mathrm{C}\mathrm{P}\mathrm{U}$ 来说，就是洒洒水。

  就算你的 $\mathrm{C}\mathrm{P}\mathrm{U}$ 主频低至 $2.0\mathrm{G}\mathrm{h}\mathrm{z}$，那也是每秒钟二十亿次的计算速度。

  不要小瞧了现代计算机啊，混蛋。

public class Test {
   

    public static void main(String[] args) {
    new Test().run(); }

    int N = 1000000007, M = 999999999;

    void run() {
   
        for (int i = 1; i <= N; i++)
            if (i * 2021L % N == M) System.out.println(i);
    }
}

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余数定义

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  余数的定义是，

  给定两个整数 $a$、$b$，其中 $b\ne 0$，那么一定存在两个唯一的整数 $q$、$r$，使得$$a=qb+r，0\le r<|b|$$

  而在这道题中，我们最后要找的，可能存在的这个数字可表示为，

  $2021\cdot a^{\prime }=1000000007\cdot q+999999999$，

  显然 $q$ 不会超过 $2021$，

  枚举的变量选择为 $q$ 的话，就能大大的减少枚举范围。

public class Test {
   

    public static void main(String[] args) {
    new Test().run(); }

    long N = 1000000007, M = 999999999;

    void run() {
   
        for (int i = 1; i < 2021; i++)
            if ((i * N + M) % 2021 == 0)
                System.out.println((i * N + M) / 2021);
    }
}

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同余方程

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扩展欧几里得算法

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  依题意，有同余线性方程：

  $a\times x\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$，$\gcd (a,n)\mid b$

  将 $2021$ 代入 $a$，$1000000007$ 代入 $n$，$\gcd (a,n)=1$，方程有无穷解。

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  稍微解释一下，

  $a\times x\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$ 可改写为 $a\times x+n\times y=b$，

  用扩展欧几里得算法求出一组数 $x_0,y_0$，使得 $a\times x_0+n\times y_0=\gcd (a,n)$，

  则 $x=\frac{b\times x_0}{\gcd (a,n)}$ 是原方程的一个解。

  通解为 $\overline{\frac{b\times x_0}{\gcd (a,n)}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$，

  人话一点就是模 $n$ 与 $x$ 同余的同余类。

def exgcd(a, b):
    if b == 0:
        return (1, 0, a)
    (x, y, d) = exgcd(b, a % b)
    return (y, x - a // b * y, d);

(x, y, d) = exgcd(2021, 1000000007)
print((x * 999999999 // d) % (1000000007 // d))

  毕竟是结果填空题，

  就用 $\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{n}$ 写了，

  下面再放个 $\mathrm{J}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{a}$ 的吧。

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费马小定理

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  对 $a$， $a\in \mathbb{Z}$，若 $p$ 为质数，$\gcd (a,p)=1$，有

  $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

  容易整理出方程，

  $\begin{array}{rlr}ax& \equiv a^{p-1}& (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\\ x& \equiv a^{p-2}& (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\\ bx& \equiv b{a}^{p-2}\equiv b& (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\end{array}$

public class Test {
   

    public static void main(String[] args) {
    new Test().run(); }

    int a = 2021, b = 999999999, p = 1000000007;

    void run() {
   
        System.out.println(pow(a, p - 2) * b % p);
    }

    long pow(int a, int n) {
   
        if (n == 1) return a;
        long res = pow(a, n >> 1);
        res = res * res % p;
        return (n & 1) == 1 ? res * a % p : res;
    }
}

  $\mathrm{J}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{a}$ 实现起来较为容易一点。

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#B 直线

本题总分：$5$ 分

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问题描述

  在平面直角坐标系中，两点可以确定一条直线。如果有多点在一条直线上，那么这些点中任意两点确定的直线是同一条。
  给定平面上 $2\times 3$ 个整点 { ( x , y ) ∣ 0 ≤ x < 2 , 0 ≤ y < 3 , x ∈ Z , y ∈ Z } \{(x, y)|0 ≤ x < 2, 0 ≤ y < 3, x ∈ Z, y ∈ Z\} { (x,y)∣0≤x<2,0≤y<3,x∈Z,y∈Z}，即横坐标是 $0$ 到 $1$ (包含 $0$ 和 $1$) 之间的整数、纵坐标是 $0$ 到 $2$ (包含 $0$ 和 $2$) 之间的整数的点。这些点一共确定了 $11$ 条不同的直线。
  给定平面上 $20\times 21$ 个整点 { ( x , y ) ∣ 0 ≤ x < 20 , 0 ≤ y < 21 , x ∈ Z , y ∈ Z } \{(x, y)|0 ≤ x < 20, 0 ≤ y < 21, x ∈ Z, y ∈ Z\} { (x,y)∣0≤x<20,0≤y<21,x∈Z,y∈Z}，即横坐标是 $0$ 到 $19$ (包含 $0$ 和 $19$) 之间的整数、纵坐标是 $0$ 到 $20$ (包含 $0$ 和 $20$) 之间的整数的点。请问这些点一共确定了多少条不同的直线。

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答案提交

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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直线方程集合

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  一种朴素的想法，是将所有点连接起来，去掉重复的线，然后统计。

  为了方便表示，这里采用斜截式方程 $y=kx+b$ 来表示每一条直线，其中 $k$ 为直线斜率，$b$ 为直线在 $y$ 轴上的截距，并统一不处理斜率不存在的线，将结果加上一个 $20$。

  注意！ 这段程序的结果是不准确的。

import java.util.HashSet;
import java.util.Set;

public class Test {
   

    public static void main(String[] args) {
    new Test().run(); }

    int X = 20, Y = 21;

    void run() {
   
        Set<Line> set = new HashSet();
        for (int x1 = 0; x1 < X; x1++)
            for (int y1 = 0; y1 < Y; y1++)
                for (int x2 = x1; x2 < X; x2++)
                    for (double y2 = 0; y2 < Y; y2++)
                        if (x1 != x2){
   
                            double k = (y2 - y1) / (x2 - x1);
                            double b = -x1 * k + y1;
                            set.add(new Line(k, b));
                        }
        System.out.println(set.size() + X);
    }

    class Line {
   

        double k, b;

        Line(double b, double k) {
   
            this.k = k;
            this.b = b;
        }

        @Override
        public boolean equals(Object obj) {
   
            return k == ((Line)obj).k && b == ((Line)obj).b;
        }

        @Override
        public int hashCode() {
   
            return (int)k ^ (int)b;
        }
    }
}

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分式消除误差

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  斜率在浮点数表示下，精度那是参差不齐，诚然可以将误差限制在一个范围内，当绝对差落入当中时，我们就将其视为值相同。

  但是对于这种需要可表示的范围小的时候，我们可以定义分式来做到无误差，而不是控制精度。

import java.util.HashSet;
import java.util.Set;

public class Test {
   

    public static void main(String[] args) {
    new Test().run(); }

    int X = 20, Y = 21;

    void run() {
   
        Set<Line> set = new HashSet();
        for (int x1 = 0; x1 < X; x1++)
            for (int y1 = 0; y1 < Y; y1++)
                for (int x2 = x1; x2 < X; x2++)
                    for (int y2 = 0; y2 < Y; y2++)
                        if (x1 != x2){
   
                            Fraction k = new Fraction(y2 - y1, x2 - x1);
                            Fraction b = new Fraction(y1 * (x2 - x1) - x1 * (y2 - y1),x2 - x1);
                            set.add(new Line(k, b));
                        }
        System.out.println(set.size() + X);
    }

    class Fraction {
   

        int numerator, denominator;

        Fraction(int numerator, int denominator) {
   
            int gcd = gcd(numerator, denominator);
            this.denominator = denominator /gcd;
            this.numerator = numerator / gcd;
        }

        int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }

        @Override
        public boolean equals(Object obj) {
   
            return this.numerator == ((Fraction)obj).numerator && this.denominator == ((Fraction)obj).denominator;
        }
    }

    class Line {
   

        Fraction k, b;

        Line(Fraction b, Fraction k) {
   
            this.k = k;
            this.b = b;
        }

        @Override
        public boolean equals(Object obj) {
   
            return this.k.equals(((Line)obj).k) && this.b.equals(((Line)obj).b);
        }

        @Override
        public int hashCode() {
   
            return k.denominator;
        }
    }
}

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平面几何

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  这是一个平面直角坐标系，原点与 $(1,2)$ 连成一条线段。

  我们将经过这两点的直线，以及这条直线经过的点与该点于横竖轴的垂线标记出来。

  显然，若直线经过 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$ 两点，那么它必然也经过 $(x_1+k(x_1-x_2),y_1+k(y_1-y_2))$，$k\in Z$。

  若在连接一条直线时，将所有直线经过的点标记起来，在下次遇到已经标记过的两点，我们便可直接跳过。

public class Test {
   

    public static void main(String[] args) {
    new Test().run(); }

    int X = 20, Y = 21;

    void run() {
   
        int count = 0;
        boolean[][][][] marked = new boolean[X][Y][X][Y];
        for (int x1 = 0; x1 < X; x1++)
            for (int y1 = 0; y1 < Y; y1++) {
   
                marked[x1][y1][x1][y1] = true;
                for (int x2 = 0; x2 < X; x2++)
                    for (int y2 = 0; y2 < Y; y2++) {
   
                        if (marked[x1][y1][x2][y2]) continue;
                        int x = x1, y = y1, xOffset = x - x2, yOffset = y - y2;
                        while (x >= 0 && x < X && y >= 0 && y < Y) {
   
                            x += xOffset;
                            y += yOffset;
                        }
                        x -= xOffset;
                        y -= yOffset;
                        while (x >= 0 && x < X && y >= 0 && y < Y) {
   
                            for (int i = x - xOffset, j = y - yOffset; i >= 0 && i < X && j >= 0 && j < Y; i -= xOffset, j -= yOffset) {
   
                                marked[x][y][i][j] = marked[i][j][x][y] = true;
                            }
                            x -= xOffset;
                            y -= yOffset;
                        }
                        count++;
                    }
            }
        System.out.println(count);
    }
}

  我觉得可能会再考个差不多的，这里给大伙一个推论。

  平面直角坐标系上有 $n\times n$，$n\ge 2$ 个点 { ( x , y ) ∣ 0 ≤ x < n , 0 ≤ y < n , x ∈ Z , y ∈ Z } \{(x, y)|0 ≤ x < n, 0 ≤ y < n, x ∈ Z, y ∈ Z\} { (x,y)∣0≤x<n,0≤y<n,x∈Z,y∈Z}，从原点出发可连接的不同直线为 $1\le x,y<n$，$x\ne y$ 中 $gcd(x,y)=1$ 的次数加 $3$。

  感兴趣的读者可以自行证明。

  同时在 $1\le x<y<n$ 时，$gcd(x,y)=1$ 的出现次数恰好等于 $\sum _{y=2}^{n-1}\phi (y)$，其中 $\phi$ 为欧拉函数。

  能力有限，这里便不再继续讨论。

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#C 货物摆放

本题总分：$10$ 分

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问题描述

  小蓝有一个超大的仓库，可以摆放很多货物。
  现在，小蓝有 $n$ 箱货物要摆放在仓库，每箱货物都是规则的正方体。小蓝规定了长、宽、高三个互相垂直的方向，每箱货物的边都必须严格平行于长、宽、高。
  小蓝希望所有的货物最终摆成一个大的立方体。即在长、宽、高的方向上分别堆 $L、W、H$ 的货物，满足 $n=L\times W\times H$。
  给定 $n$，请问有多少种堆放货物的方案满足要求。
  例如，当 $n=4$ 时，有以下 $6$ 种方案：$1\times 1\times 4$、$1\times 2\times 2$、$1\times 4\times 1$、$2\times 1\times 2$、$2\times 2\times 1$、$4\times 1\times 1$。
  请问，当 $n=2021041820210418$ （注意有 $16$ 位数字）时，总共有多少种方案？
  提示：建议使用计算机编程解决问题。

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答案提交

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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2430

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暴力搜索

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  每届必考的基本算术定理。

import java.util.ArrayDeque;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class Test {
   

    public static void main(String[] args) {
    new Test().run(); }

    long n = 2021041820210418L;

    void run(