【洛谷4389】付公主的函数【生成函数】【多项式exp】

最新推荐文章于 2022-10-09 19:08:00 发布

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#多项式

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本文探讨了使用生成函数解决背包计数问题的高级技巧，包括取对数、加和、指数运算等经典套路，以及如何通过积分和调和级数优化算法效率。通过具体的代码实现，展示了快速傅立叶变换（FFT）、逆元计算、多项式乘法等关键步骤。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

背包计数

首先做生成函数 $F(x)=\sum_{i=0}x^{vi}=\frac{1}{1-x^v}$

答案是一大堆的乘积，直接做 $O(n^2logn)$ 你已经死了

经典套路先取对，加起来，然后exp。

设 $G(x)=ln(F(x))$

所以 $G'(x)=\frac{F'(x)}{F(x)}=(1-x^v)\sum_{i}vix^{vi-1}=\sum_{i}vx^{vi-1}$

积分回去 $G(x)=\frac{1}{i}x^{vi}$

调和级数加进去，exp

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define in read()
#define int long long
int in{
	int cnt=0,f=1;char ch=0;
	while(!isdigit(ch)){
		ch=getchar();if(ch=='-')f=-1;
	}
	while(isdigit(ch)){
		cnt=cnt*10+ch-48;
		ch=getchar();
	}return cnt*f;
}
int a[500003],b[500003],c[500003],d[500003],e[500003],f[500003],g[500003],r[500003],limit,l;
int ifac[500003];int n,m,v[500003];const int mod=998244353;
int ksm(int a,int b){
	int ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;b>>=1;
	}return ans;
}
void NTT(int *a,int len,int inv){
	for(int i=0;i<len;i++){
		if(i<r[i])swap(a[i],a[r[i]]);
	}
	for(int mid=1;mid<len;mid<<=1){
		int wn=ksm(3,(mod-1)/(mid<<1));
		for(int i=0;i<len;i+=mid*2){
			int omega=1;
			for(int j=0;j<mid;j++,omega=omega*wn%mod){
				int x=a[i+j],y=a[i+j+mid]*omega%mod;
				a[i+j]=(x+y)%mod;a[i+j+mid]=(x-y+mod)%mod;
			}
		} 
	}
	if(inv==1)return;
	int gu=ksm(len,mod-2);reverse(a+1,a+len);
	for(int i=0;i<len;i++)a[i]=a[i]*gu%mod;
}
void getl(int len){
	limit=1,l=0;while(limit<len)limit<<=1,l++;
	for(int i=0;i<limit;i++){
		r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	}
}
void getinv(int *c,int *e,int len){
	if(len==1){
		e[0]=ksm(c[0],mod-2);return;
	}getinv(c,e,(len+1)>>1);
	getl(len<<1);
	for(int i=0;i<limit;i++){
		if(i<len)f[i]=c[i],g[i]=e[i];else f[i]=g[i]=0;
	}
	NTT(f,limit,1);NTT(g,limit,1);
	for(int i=0;i<limit;i++)f[i]=g[i]*(2-f[i]*g[i]%mod+mod)%mod;
	NTT(f,limit,-1);for(int i=0;i<limit;i++)e[i]=i<len?f[i]:0;
}
void qiudao(int *b,int *d,int len){
	for(int i=1;i<len;i++){
		d[i-1]=b[i]*i%mod;
	}d[len-1]=0;
}
void shita(int *d,int *c,int len){
	for(int i=1;i<len;i++){
		c[i]=d[i-1]*ksm(i,mod-2)%mod;
	}c[0]=0;
}
void getln(int *b,int *c,int len){
	qiudao(b,d,len);getinv(b,e,len);
	getl(len<<1);
	NTT(d,limit,1);NTT(e,limit,1);
	for(int i=0;i<limit;i++)d[i]=d[i]*e[i]%mod;
	NTT(d,limit,-1);shita(d,c,len);
}
void getexp(int *a,int *b,int len){
	if(len==1){
		b[0]=1;return;
	}getexp(a,b,len>>1);
	getln(b,c,len);
	getl(len<<1);
	for(int i=0;i<limit;i++)if(i<len)c[i]=(a[i]-c[i]+mod)%mod;else c[i]=0;c[0]++;
	NTT(b,limit,1);NTT(c,limit,1);for(int i=0;i<limit;i++)b[i]=b[i]*c[i]%mod;
	NTT(b,limit,-1);for(int i=len;i<limit;i++)b[i]=c[i]=0;
}int cnt[500003];
signed main(){
	n=in;m=in;ifac[0]=1;int gu=1;for(;gu<=m;gu<<=1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		v[i]=in;cnt[v[i]]++;
		//ifac[i]=ifac[i-1]*ksm(i,mod-2)%mod;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(!cnt[i])continue;
		for(int j=1;j*i<=m;j++){
			a[j*i]+=ksm(j,mod-2)*cnt[i];a[j*i]%=mod;
		}
	}
	//for(int i=0;i<gu;i++)cout<<a[i]<<" ";cout<<endl;
	getexp(a,b,gu);
	for(int i=1;i<=m;i++)cout<<b[i]<<'\n';
	return 0;
}