【洛谷】P5162 WD与积木-生成函数&多项式求逆

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题解

斯特林数复杂度降不下去(生成函数是关于总层数的)，考虑枚举第一堆/层大小进行$dp$($g_n,f_n$分别表示$n$块积木堆叠方案数，$n$块积木堆叠的所有方案的总层数):
$$\begin{gathered} g_n=\sum _{i=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)g_{n-i} \\ {f}_n=g_n+\sum _{i=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)f_{n-i} \end{gathered}$$

设$F(x)=\sum _0^{\infty }\frac{f_i}{i!}{x}^i,G(x)=\sum _0^{\infty }\frac{g_i}{i!}{x}^i,H(x)=\sum _0^{\infty }\frac{1}{i!}{x}^i$

将$dp$式子转成生成函数：
$$\begin{gathered} G=H\ast G-G+1 \\ F=G+H\ast F-F-1 \end{gathered}$$
则$G=\frac{1}{2-H},F=G(G-1)$

多项式求逆即可。

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代码

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int N=1e6+10,mod=998244353,M=1e5,gen=3;

int tk,n,f[N],g[N],h[N],ivg;
int rv[N],L,len;

char cp;
inline int rd()
{
	int x=0;cp=getchar();
	for(;!isdigit(cp);cp=getchar());
	for(;isdigit(cp);cp=getchar()) x=x*10+(cp^48);
	return x;
}

inline void ad(int &x,int y){x+=y;if(x>=mod) x-=mod;}
inline int adi(int x,int y){x+=y;return x>=mod?x-mod:x;}
inline int dci(int x,int y){x-=y;return x<0?x+mod:x;}

inline int fp(int x,int y)
{
	int re=1;
	for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod) if(y&1) re=(ll)re*x%mod;
	return re;
}

inline void init(int n)
{
	for(L=0,len=1;len<=n;len<<=1) L++;
	for(int i=0;i<len;++i) rv[i]=(rv[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
}

inline void ntt(int *e,int pr)
{
	int i,j,k,x,y,pd,ori,G=pr?gen:ivg;
	for(i=1;i<len;++i) if(i<rv[i]) swap(e[i],e[rv[i]]);
	for(i=1;i<len;i<<=1){
		ori=fp(G,(mod-1)/(i<<1));
		for(j=0;j<len;j+=(i<<1)){
			for(pd=1,k=0;k<i;++k,pd=(ll)pd*ori%mod){
				x=e[j+k];y=(ll)pd*e[i+j+k]%mod;
				e[j+k]=adi(x,y);e[i+j+k]=dci(x,y);
			}
		}
	}
	if(pr) return;
	G=fp(len,mod-2);
	for(i=0;i<len;++i) e[i]=(ll)e[i]*G%mod;
}

void gtinv(int n,int *f,int *g)
{
	if(n==1) {f[0]=fp(g[0],mod-2);return;}
	gtinv((n+1)>>1,f,g);init((n<<1)-1);
	static int i,rp[N];
	for(i=0;i<n;++i) rp[i]=g[i];
	for(i=n;i<len;++i) rp[i]=0;
	ntt(f,1);ntt(rp,1);
	for(i=0;i<len;++i) f[i]=(ll)f[i]*dci(2,(ll)rp[i]*f[i]%mod)%mod;
	ntt(f,0);for(i=n;i<len;++i) f[i]=0;
}

int main(){
	int i,n;h[0]=h[1]=1;ivg=fp(gen,mod-2);
	for(i=2;i<=M;++i) h[i]=(ll)(mod-mod/i)*h[mod%i]%mod;
	for(i=2;i<=M;++i) h[i]=(ll)h[i]*h[i-1]%mod; 
	for(i=0;i<=M;++i) h[i]=h[i]?mod-h[i]:0;h[0]=1;
	gtinv(M+1,g,h);init(M<<1);
	memcpy(h,g,sizeof(h));memcpy(f,g,sizeof(f));f[0]=dci(f[0],1);
	ntt(h,1);ntt(f,1);
	for(i=0;i<len;++i) f[i]=(ll)f[i]*h[i]%mod;
	ntt(f,0);
	for(i=1;i<=M;++i) f[i]=(ll)f[i]*fp(g[i],mod-2)%mod;	
	for(tk=rd();tk;--tk) printf("%d\n",f[rd()]);
	return 0;
}