bzoj 4027: [HEOI2015]兔子与樱花（树型DP）

最新推荐文章于 2020-07-28 20:21:47 发布

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#树型DP

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本文介绍了一种结合树型动态规划与贪心策略的算法，用于解决特定类型的优化问题。通过定义节点载重值并按顺序删除节点，算法确保了在限制条件下最大化整体载重。代码实现展示了如何通过递归深度优先搜索遍历树结构，同时利用贪心策略选择最佳删除顺序。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

算法：树型DP+贪心

难度：NOIP

时间复杂度：O(nlogn)

某个节点的载重为樱花数+儿子数，根据题意，删除某个节点后，向上传递樱花数和儿子数，损失被删除的节点（-1的原因）。如果我们给每个节点定义一个载重值Mi。则删除一个节点j后，会将Mj−1传递给父亲。如果父亲也被删除，则会逐层向上传。由此可以看出，删除的顺序不会影响父亲增加载重值的变化。

　　基于顺序不会受到影响的前提下，我们思考第二个问题。若存在a−b−c这样的一棵树，其中a为根。现在存在两种方案，一种是删除cc节点，一种是删除b节点，显然是删除c更优。因为删除b会导致根节点载重量变大的同时，还使得b节点无法充分利用。即损耗了a的载重，但是又没有充分利用b的载重量。而删除c节点后，a还能够有剩余的载重量，整体处于最优状态。由此，得出第二个结论，删除儿子节点比删除父亲节点优。

贪心就更显而易见了，先挑对父亲的载重影响小的删除（正确性易证），直到不能删为止。

代码如下（luogu最后一个点卡常，写读优）：

//时间复杂度为O(nlogn)
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <vector>
#define N 2000005
#define ll long long
using namespace std;
int c[N],n,m;
ll ans;
vector<int>son[N];
int cmp(int x,int y)
{
	return c[x]<c[y];
}
template<class T>void read(T &x)
{
    x=0;int f=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')  {f|=(ch=='-');ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
    x=f?-x:x;
    return;
}
void dfs(int rt)
{
	int len=son[rt].size();
	c[rt]+=len;
	for(int i = 0;i < len;i++)
	{
		dfs(son[rt][i]);
	}
	sort(son[rt].begin(),son[rt].end(),cmp);
	for (int i = 0;i < len;i++)
	{
		if (c[rt]+c[son[rt][i]]-1<=m) c[rt]+=c[son[rt][i]]-1,ans++;
        else break;
	}
}
int main()
{
	read(n),read(m);
	//scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i = 0;i < n;i++)
	{
		read(c[i]);
		//scanf("%d",&c[i]);
	}	
	for(int i = 0;i < n;i++)
	{
		int x;
		read(x);
		//scanf("%d",&x);
		if(x==0) continue;
		while(x--)
		{
			int y;
			read(y);
			//scanf("%d",&y);
			son[i].push_back(y);//刚刚手残写成 son[x].push_back(y);
		}
	}
	dfs(0);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0 ;
}