动态规划（九）：编辑距离

一、问题引导1：判断子序列

392.判断子序列
给定字符串 s 和 t ，判断 s 是否为 t 的子序列。

字符串的一个子序列是原始字符串删除一些（也可以不删除）字符而不改变剩余字符相对位置形成的新字符串。（例如，"ace"是"abcde"的一个子序列，而"aec"不是）。

这道题使用双指针做很容易，但是如果使用动态规划，该怎么做呢？

1、dp数组含义

d[i][j]表示以下标j-1为结尾的字符串t中含有的以s[i-1]结尾的子串长度
例如当前t为bnmncla,s为abc，则d[i][j]=2，这是由于从后往前看，首先找到了c，c前面只有b，因此d[i][j]=2

2、递推公式

• if (s[i - 1] == t[j - 1])，那么dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;，因为找到了一个相同的字符，那么就在dp[i - 1][j - 1]的基础上+1
• if (s[i - 1] != t[j - 1])，那么此时t序列中有编号为j-1的元素和没有编号为j-1的元素是一样的，因此dp[i][j] = dp[i][j - 1]。

注意，这里为什么没有dp[i-1][j]参与进来，这是因为：
dp[i][j]是以下标j-1为结尾的字符串t中含有的以s[i-1]结尾的子串长度；
dp[i-1][j]是以下标j-1为结尾的字符串t中含有的以s[i-2]结尾的子串长度；

• 举个例子，如s串abc和t串abeft，如果t串中寻找以b结尾的子串长度，则其长度为2；但如果在t中寻找以c结尾的子串，其结果为0；因此dp[i][j]与dp[i-1][j]无关

• 而如果在abef中寻找以b结尾的，其长度为2，在abeft中寻找以b结尾的，其长度为2（t不等于b，因此其长度等去abef中寻找以b结尾的子串），因此dp[i][j]与dp[i][j - 1]有关

3、初始化

根据递推公式，我们需要初始化dp[i][0]和dp[0][j]，根据定义：

4、遍历顺序

从左到右，从上到下

5、返回值

看dp[s.size()][t.size()]与s.size()是否相等，相等就是找到了子串，否则就是没找到

6、代码实现

class Solution {
   
public:
    bool isSubsequence(string s, string t) {
   
        vector<vector<int>> dp(s.size() + 1, vector<int>(t.size() + 1, 0));

        for(int i = 1; i <= s.size(); i++){
   
            for(int j = 1; j <= t.size(); j++){
   
                if(s[i - 1] == t[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                else dp[i][j] = dp[i][j - 1];
            }
        }
        if(dp[s.size()][t.size()] == s.size()) return true;
        return false;
    }
};

二、不同的子序列

115. 不同的子序列
给定一个字符串 s 和一个字符串 t ，计算在 s 的子序列中 t 出现的个数。

字符串的一个 子序列 是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，"ACE" 是 "ABCDE" 的一个子序列，而 "AEC"