动态规划（十）：其他题目_布尔类型的dp[i][j]-优快云博客

647. 回文子串
给定一个字符串，你的任务是计算这个字符串中有多少个回文子串。

具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。

注意：回文子串是要求连续的

1、dp数组

布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。

2、递推公式

想要等到dp[i][j]，整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。

当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。

当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况

情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是文子串
情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

3、初始化

由于dp[i][j]依赖于dp[i + 1][j - 1]，因此需要初始化最下面一行和最左边一行：
但是这两行均符合j >= i, 对于j >i的元素全部初始化为false；对于j = i的元素，也可以先初始化为false，因为j=i的dp元素可以自行判断自己的值，不依赖其他dp值进行推导

4、遍历顺序

从左到右，从下到上

5、返回值

每当遇见一个dp元素为true时候，计数加一，最后的结果就是回文子串总数

6、代码实现

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));

        int res = 0;
        /--根据递推公式，这里必须从后往前遍历---/
        for(int i = s.size() - 1; i >= 0; i--){
            for(int j = i; j < s.size(); j++){
                if(s[i] == s[j] && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])){
                    dp[i][j] = true;
                    res++;
                }
            }
        }

        return res;
    }
};

516.最长回文子序列
给定一个字符串 s ，找到其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。可以假设 s 的最大长度为 1000 。

示例 1: 输入: "bbbab" 输出: 4 一个可能的最长回文子序列为 "bbbb"。

示例 2: 输入:"cbbd" 输出: 2 一个可能的最长回文子序列为 "bb"。

注意：回文子序列不要求连续

1、dp数组

dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。

2、递推公式

如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入并不能增加[i,j]区间回文子串的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);

3、初始化

由于j < i没有意义，我们可以看到递推公式最早依赖的是dp[i][i],也就是斜对角线上的元素，根据dp数组定义，对角线上元素值为1

4、遍历方式

根据递推公式，从下到上，从左到右

5、返回值

根据dp数组定义，返回值为dp[0][s.size() - 1]

6、代码实现

class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {
    	/---dp数组初始化---/
        vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
        for(int i = 0; i < s.size(); i++){
            dp[i][i] = 1;
        }
		
		/---递推公式---/
        for(int i = s.size() - 1; i >= 0; i--){
            for(int j = i + 1; j < s.size(); j++){
                if(s[i] == s[j]) dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                else dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }

        return dp[0][s.size() - 1];
    }
};