单变量微积分笔记

最新推荐文章于 2022-12-03 23:00:13 发布

shiyueyue0822

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分类专栏：数学基础

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/shiyueyue0822/article/details/103019025

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本文主要介绍了微积分的基本思想和核心概念，包括无穷小、极限、连续性、间断点、微分和导数的定义及其性质。讲解了极限的唯一性、有界性和保号性，以及无穷小的运算法则。还探讨了连续函数的定义、间断点的分类，以及微分作为函数差分的线性近似。同时，提到了导数与函数斜率的关系，以及利用导数判断函数极值和凹凸性的方法。最后，简述了积分的概念，积分函数与原函数的关系，以及不定积分和定积分的应用。

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根本思想是在趋向极限的过程中，以直代曲

无穷小的来源和无穷小与极限的关系

1. $\varepsilon$ 在极限里的意思是不断缩小的观察范围。不断缩小观察范围，如果提高放大倍数，时间还在观察范围内，这就是收敛的极限。

2. 无穷小/大的不是数，而是函数如数列和函数。

3. 无穷大意味着没有极限。

4. 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)的极限是无穷大，那么 $\frac{1}{f(x)}$ 的极限是无穷小。如果 $f(x)$ 的极限是无穷小，并且 $f(x)\neq 0$ ,那么 $\frac{1}{f(x)}$ 的极限是无穷大

5. 极限的性质分为：唯一，有界，保号。分别描述的是函数在去心邻域内只存在一个极限，在去心邻域内内有界，正负相同。

6. 极限可表示为无穷小的代数 $\\ \underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x) = L \\ f(x) =L+\alpha$ , 其中 $\alpha 为无穷小$ 为无穷小。可以看成差值为无穷小。

7. 无穷小的运算法则：有限个无穷小相加还是无穷小。有界乘于无穷小还是无穷小。

8. 无穷小的分配律：根据6可以推出 $\\ limf(x)\pm g(x)=lim (A+\alpha) \pm (B+\beta) \\ =A\pm B+lim(\alpha \pm \beta ) =A\pm B=limf(x)\pm limg(x)\\ \\ limf(x)g(x)=lim(A+\alpha )(B+\beta ) \\ =lim(AB+\alpha B+\beta A+\alpha \beta )\\ =AB+lim(\alpha B+\beta A+\alpha \beta ) = AB=limf(x)limg(x)\\ \\ B\neq 0\\ lim\frac{f(x)}{g(x)} = lim\frac{A+\alpha}{B+\beta} = \frac{A}{B}+limxx\\=\frac{limf(x)}{limg(x)}$

9.多项式的极限是分母和分子都化成无穷小的函数。

10.复合函数的极限。 $\\ lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=u_{0},lim_{u\rightarrow u_{0}}g(u) = L,\\ x\in U^{\circ}(x_{0},\delta ),g(x)\neq u_{0}\\ lim_{x\rightarrow x_{0}}f(g(x))=L$ ?

$\frac{0}{0}$ 形势的极限

11.8中上下分母都为无穷小（一般为三角函数），那么这时用夹逼定理求极限。在 $x_{0}$ 的去心邻域内， $\\ h(x)<f(x)<g(x),lim_{x\rightarrow x_{0}}h(x)=L,lim_{x\rightarrowx_{0}}g(x)=L\\ lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=L$

12. 无穷小的比较比较的是哪个接近0的速度更快，从而分出高阶，同阶，低阶，等价。从而可以进行计算。 $\\ \alpha \sim \alpha_{1}\\ \beta \sim \beta_{1}\\ lim\frac{\alpha}{\beta}=lim\frac{\alpha_{1}}{\beta_{1}}$