416. 分割等和子集

题目：
给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

示例 1：
输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。

示例 2：
输入：nums = [1,2,3,5]
输出：false
解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。

解题思路：
图中的文字为：
这道题可以换一种表述：给定一个只包含正整数的非空数组 nums[0]，判断是否可以从数组中选出一些数字，使得这些数字的和等于整个数组的元素和的一半。因此这个问题可以转换成【0 - 1 背包问题】。这道题与传统的【0 - 1 背包问题】的区别在于，传统的【0 - 1 背包问题】要求选取的物品的重量之和不能超过背包的总容量，这道题则要求选取的数字的和恰好等于整个数组的元素和的一半。
类似传统的【0 - 1 背包问题】，可以使用动态规划求解。
在使用动态规划求解之前，首先需要进行以下判断。
· 根据数组的长度 n 判断数组是否可以被划分。如果 $n<2$ ，则不可能将数组分割成元素和相等的两个子集，因此直接返回 false。
· 计算整个数组的元素和 sum 以及最大元素 maxNum。如果 sum 是奇数，则不可能将数组分割成元素和相等的两个子集，因此直接返回 false。如果 sum 是偶数，则令 target = $\frac{sum}{2}$ ，需要判断是否可以从数组中选出一 些数字，使得这些数字的和等于 target 。如果 maxNum > target ，则除了 maxNum 以外的所有元素之和一定小于 target ，因此不可能将数组分割成元素和相等的两个子集，直接返回 false。
创建二维数组 dp ，包含 n 行 target + 1 列，其中 dp[i][j] 表示从数组的 [0, i] 下标范围内选取若干个正整数（可以是 0 个），是否存在一种选取方案使得被选取的正整数的和等于 j。初始时，dp 中的全部元素都是 false。
在定义状态之后，需要考虑边界情况。以下两种情况都属于边界情况。
· 如果不选取任何正整数，则被选取的正整数之和等于 0。因此对于所有 $0\le i<n$ ，都有 dp[i][0]=true。
· 当 $i=0$ 时，只有一个正整数 nums[0] 可以被选取，因此 dp[0][nums[0]]=true。
对于 $i>0$ 且 $j>0$ 的情况，如何确定 dp[i][j] 的值？需要分别考虑以下两种情况。
· 如果 $j\ge nums[i]$ ，则对于当前数字 nums[i]，可以选取也可以不选取，两种情况只要有一个为 true，就有 dp[i][j]=true。

• 如果不选取 nums[i]，则 dp[i][j]=dp[i-1][j];
• 如果选取 nums[i]，则 dp[i][j]=dp[i-1][j-nums[i]];
• 如果 $j<nums[i]$ ，则在选取的正整数的和等于 j 的情况下无法选取当前的数字 nums[i]，因此有 dp[i][j]=dp[i-1][j]。

状态转移方程如下：
$\begin{array}{l}dp[i][j]=\{\begin{array}{ll}dp[i-1][j]\mid dp[i-1][j-num[i]],& j\ge num[i]\\ dp[i-1][j],& j<num[i]\end{array}\end{array}$
最终得到dp[n-1][target]即为答案。

代码：

def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
	if not nums:
		return False
	n = len(nums)
	if n > 2:
		return False
	total = sum(nums)
	if total % 2 == 1:
		return False
	target = total // 2
	if max(nums) > target:
		return False
	
	dp = [[False] * (target+1) for _ in range(n)]
	for i in range(n):
		dp[i][0] = True
	dp[0][nums[i]]=True
	for i in range(1, n):
		for j in range(1, target+1):
			if j >= nums[i]:
				dp[i][j] = dp[i-1][j] | dp[i-1][j-nums[i]]
			else:
				dp[i][j] = dp[i-1][j]
	return dp[n-1][target]