2010年IMO几何预选题第1题

在 $△ABC$ 中, $AD$, $BE$, $CF$ 为三条高线, 延长 $EF$ 交 $(ABC)$ 于 $P$, 延长 $DF$, $BP$ 交于 $Q$. 求证: $AP=AQ$.

证明:

设 $DF$ 交 $(APF)$ 于点 $Q^{\prime }$, $\angle Q^{\prime }FA=\angle Q^{\prime }PA=\angle DFB=\angle ACB=\pi -\angle APB$. 所以 $Q^{\prime }$, $P$, $A$ 共线, $Q^{\prime }$ 即为 $Q$.
$\angle QAP=\angle QFP=\angle DFE=\pi -2\angle ACB$, 进而 $\angle PQA=\angle ACB=\angle QPA$. $QA=QP$.
证毕.