参数方程的二阶导数

最新推荐文章于 2024-07-02 16:09:12 发布

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这篇博客探讨了如何求解参数方程 ( x=ln(t^2+1) ) 和 ( y=t-arctan(t) ) 的二阶导数 ( frac{d^2y}{dx^2} )。首先，博主展示了如何计算关于 ( x ) 的一阶导数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

已知
$x=\ln\left(t^2+1\right)$
$y=t-\arctan(t)$
求 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$

先计算y关于x的一阶导数：

y' = d y d x = d y d t d x d t = ( t 2 + 1 ) ( 1 - 1 t 2 + 1 ) 2 t = t 2 (60)

$y'=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\dfrac{\left(t^2+1\right)\left(1-\dfrac{1}{t^2+1}\right)}{2t}=\dfrac{t}{2}$

y'' = d 2 y d x 2 = d y ' d x = d y ' d t d x d t = t 2 + 1 4 t (83)

$y''=\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{dy'}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy'}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\dfrac{t^2+1}{4t}$

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