参数方程求导

参数方程求导

当我们知道$\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}$时，我们可以求出$\frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

然后我们也可以求$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dt}/\frac{dx}{dt}$

例

$\{\begin{array}{c}x=\ln (1+t^2)\\ y=t-\arctan t\end{array}$，求$\frac{dy}{dx},\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$

解：
$\frac{dx}{dt}=\frac{2t}{1+t^2}$

$\frac{dy}{dt}=1-\frac{1}{1+t^2}=\frac{t^2}{1+t^2}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{t}{2}$

$\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dt}=\frac{1}{2}$

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dt}/\frac{dx}{dt}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2t}{1+t^2}}=\frac{1+t^2}{4t}$