本文探讨了n维球面Sn的齐次空间模型Np0n，通过正交分解x=Pp0(x)+Pp~0，引申出双射ip0和逆映射PP0⊥。讨论了球面上点a,b的各种距离，包括球面距离d(a,b)，弦距离dc(a,b)，法向距离dn(a,b)，球极距离ds(a,b)，并揭示了它们之间的数学关系。
nnn维球面Sn={x∈Rn+1∣x2=1}\mathcal S^n=\{x\in\mathbb R^{n+1}|x^2=1\}Sn={x∈Rn+1∣x2=1}的齐次空间模型是Np0n={x∈Nn∣x⋅0=−1}\mathbb N_{p_0}^n=\{x\in\mathbb N^n|x\cdotp_0=-1\}Np0n={x∈Nn∣x⋅0=−1}，其中p0p_0p0为Rn+1,1\mathbb R^{n+1,1}Rn+1,1里面特征为负数的单位向量。Rn+1\mathbb R^{n+1}Rn+1是p0p_0p0的对偶空间，Rn+1=p~0\mathbb R^{n+1}=\widetilde p_0Rn+1=p0，是一个n+1n+1n+1维Euclidean空间，单位球是Sn\mathcal S^nSn。
x∈Np0nx\in\mathbb N_{p_0}^nx∈Np0n的正交分解是x=Pp0(x)+Pp~0=p0+xx=P_{p_0}(x)+P_{\widetilde p_0}=p_0+\textbf{x}x=Pp0(x)+Pp0=p0+x，其中x∈Sn\textbf{x}\in\mathcal S^nx∈Sn，这引申出一个双射ip0:x∈Sn⟶x∈Np0ni_{p_0}:\textbf{x}\in\mathcal S^n\longrightarrow x\in\mathbb N_{p_0}^nip0:x∈Sn⟶x∈Np0n，逆映射是PP0⊥=Pp~0P_{P_0}^\perp=P_{\widetilde p_0}PP0⊥=Pp0。
单位球面上两点a,b\bf a,ba,b的球面距离是d(a,b)=arccos(a⋅b)d({\bf a,b})=\arccos({\bf a\cdot b})d(a,b)=arccos(a⋅b)，弦a,b\bf a,ba,b的距离是dc(a,b)=∣a−b∣d_c({\bf a,b})=|{\bf a-b}|dc(a,b)=∣a−b∣，法向距离为dn(a,b)=1−a⋅b=∣a−b′∣=−a⋅bd_n({\bf a,b})=1-{\bf a\cdot b}=|{\bf a-b'}|=-a\cdot bdn(a,b)=1−a⋅b=∣a−b′∣=−a⋅b，其中b′\bf b'b′是b\bf bb点在a\bf aa法线上的正投影。
过球心o\bf oo作与a\bf aa处的切面的平行面，与−a,b-\bf a,b−a,b的连线交于a′\bf a'a′点，那么o,a′\bf o,a'o,a′之间的距离就称为a,b\bf a,ba,b之间的球极距离：ds(a,b)=∣a∧b∣1+a⋅bd_s({\bf a,b})=\dfrac{|\bf a\wedge b|}{1+\bf a\cdot b}ds(a,b)=1+a⋅b∣a∧b∣。
这各种距离之间的关系是：dc(a,b)=2sind(a,b)2dn(a,b)=1−cosd(a,b)ds(a,b)=tand(a,b)2ds2(a,b)=dn(a,b)2−dn(a,b)\begin{aligned}{} &d_c({\bf a,b})=2\sin\dfrac{d({\bf a,b})}{2}&d_n({\bf a,b})=1-\cos d({\bf a,b})\\ &d_s({\bf a,b})=\tan\dfrac{d({\bf a,b})}{2}&d_s^2({\bf a,b})=\dfrac{d_n({\bf a,b})}{2-d_n({\bf a,b})} \end{aligned}dc(a,b)=2sin2d(a,b)ds(a,b)=tan2d(a,b)dn(a,b)=1−cosd(a,b)ds2(a,b)=2−dn(a,b)dn(a,b)
两点a,b\bf a,ba,b的法向距离，等于齐次点a,ba,ba,b的内积的相反数。
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