几何代数与球面几何_nn 个 nn 维空间的球,求这些球的公切面-优快云博客

本文探讨了n维球面Sn的齐次空间模型Np0n，通过正交分解x=Pp0(x)+Pp~0，引申出双射ip0和逆映射PP0⊥。讨论了球面上点a,b的各种距离，包括球面距离d(a,b)，弦距离dc(a,b)，法向距离dn(a,b)，球极距离ds(a,b)，并揭示了它们之间的数学关系。

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$n$ 维球面 $Sn={x∈Rn+1∣x2=1}\mathcal S^n=\{x\in\mathbb R^{n+1}|x^2=1\}$ 的齐次空间模型是 $Np0n={x∈Nn∣x⋅0=−1}\mathbb N_{p_0}^n=\{x\in\mathbb N^n|x\cdotp_0=-1\}$ ，其中 $p_0$ 为 $Rn+1,1\mathbb R^{n+1,1}$ 里面特征为负数的单位向量。 $Rn+1\mathbb R^{n+1}$ 是 $p_0$ 的对偶空间， $Rn+1=p~0\mathbb R^{n+1}=\widetilde p_0$ ，是一个 $n + 1$ 维Euclidean空间，单位球是 $Sn\mathcal S^n$ 。

$x∈Np0nx\in\mathbb N_{p_0}^n$ 的正交分解是 $x=Pp0(x)+Pp~0=p0+xx=P_{p_0}(x)+P_{\widetilde p_0}=p_0+\textbf{x}$ ，其中 $x∈Sn\textbf{x}\in\mathcal S^n$ ，这引申出一个双射 $ip0:x∈Sn⟶x∈Np0ni_{p_0}:\textbf{x}\in\mathcal S^n\longrightarrow x\in\mathbb N_{p_0}^n$ ，逆映射是 $PP0⊥=Pp~0P_{P_0}^\perp=P_{\widetilde p_0}$ 。

单位球面上两点 $a,b\bf a,b$ 的球面距离是 $d(a,b)=arccos⁡(a⋅b)d({\bf a,b})=\arccos({\bf a\cdot b})$ ，弦 $a,b\bf a,b$ 的距离是 $dc(a,b)=∣a−b∣d_c({\bf a,b})=|{\bf a-b}|$ ，法向距离为 $dn(a,b)=1−a⋅b=∣a−b′∣=−a⋅bd_n({\bf a,b})=1-{\bf a\cdot b}=|{\bf a-b'}|=-a\cdot b$ ，其中 $b′\bf b'$ 是 $b\bf b$ 点在 $a\bf a$ 法线上的正投影。

过球心 $o\bf o$ 作与 $a\bf a$ 处的切面的平行面，与 $−a,b-\bf a,b$ 的连线交于 $a′\bf a'$ 点，那么 $o,a′\bf o,a'$ 之间的距离就称为 $a,b\bf a,b$ 之间的球极距离： $ds(a,b)=∣a∧b∣1+a⋅bd_s({\bf a,b})=\dfrac{|\bf a\wedge b|}{1+\bf a\cdot b}$ 。

这各种距离之间的关系是： $dc(a,b)=2sin⁡d(a,b)2dn(a,b)=1−cos⁡d(a,b)ds(a,b)=tan⁡d(a,b)2ds2(a,b)=dn(a,b)2−dn(a,b)\begin{aligned}{} &d_c({\bf a,b})=2\sin\dfrac{d({\bf a,b})}{2}&d_n({\bf a,b})=1-\cos d({\bf a,b})\\ &d_s({\bf a,b})=\tan\dfrac{d({\bf a,b})}{2}&d_s^2({\bf a,b})=\dfrac{d_n({\bf a,b})}{2-d_n({\bf a,b})} \end{aligned}$