伯努利数
伯努利数的定义如下:
B0=1∑k=0n(n+1k)Bk=0 B_0=1\\ \sum_{k=0}^{n}\dbinom{n+1}{k}B_k=0 B0=1k=0∑n(kn+1)Bk=0
知道定义后我们就可以O(n2)O(n^2)O(n2)来递推求伯努利数。
生成函数
考虑伯努利数的指数型生成函数
B(x)=∑k≥0Bkk! B(x)=\sum_{k\ge 0}\frac{B_k}{k!} B(x)=k≥0∑k!Bk
根据伯努利数的定义
∑k=0n(n+1k)Bk=0∑k=0n−1(nk)Bk=0∑k=0n(nk)Bk=Bn(n>1) \sum_{k=0}^n\dbinom{n+1}{k}B_k=0\\ \sum_{k=0}^{n-1}\dbinom{n}{k}B_k=0\\ \sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}B_k=B_n(n>1) k=0∑n(kn+1)B