本文介绍了伯努利数的定义，通过递推公式展示了如何在O(n^2)的时间复杂度内求解伯努利数。接着探讨了伯努利数的指数型生成函数及其性质，利用生成函数在O(n*log(n))的时间内计算伯努利数。此外，还讨论了伯努利数在求解自然数幂和问题上的应用，给出了利用伯努利数快速计算自然数幂和的方法，实现时间复杂度为O(m)。遗憾的是，文章并未提供具体的代码实现。
伯努利数
伯努利数的定义如下：
B0=1∑k=0n(n+1k)Bk=0 B_0=1\\ \sum_{k=0}^{n}\dbinom{n+1}{k}B_k=0 B0=1k=0∑n(kn+1)Bk=0
知道定义后我们就可以O(n2)O(n^2)O(n2)来递推求伯努利数。
生成函数
考虑伯努利数的指数型生成函数
B(x)=∑k≥0Bkk! B(x)=\sum_{k\ge 0}\frac{B_k}{k!} B(x)=k≥0∑k!Bk
根据伯努利数的定义
∑k=0n(n+1k)Bk=0∑k=0n−1(nk)Bk=0∑k=0n(nk)Bk=Bn(n>1) \sum_{k=0}^n\dbinom{n+1}{k}B_k=0\\ \sum_{k=0}^{n-1}\dbinom{n}{k}B_k=0\\ \sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}B_k=B_n(n>1) k=0∑n(kn+1)B
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