【伯努利数】

最新推荐文章于 2024-01-15 20:17:31 发布

tystrwor

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问题：设 $T(n,k) = n^k$ ， $S(n,k) = \sum_{i=1}^{n}T(i)$ 。给出n和k，求S(n)。
例如 $k = 2，n = 5，S(n,k) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55$ 。
由于结果很大，输出 $S(n) MOD 1000000007$ 的结果即可。

伯努利数是18世纪瑞士数学家雅各布·伯努利引入的一个数。设伯努利数为 $B_n$
，它的定义为： $\frac{t}{e^t-1} = \sum_{i=1}^{n} \frac{B_n}{n!}∗t^n$ 这里|t|<2 。由计算知： $B_0=1,B_1=-\frac{1}{2}$
一般地，当 $n≥2$ 时，我们可以通过 $\sum_{i=0}^{n}C(n+1,i)∗B_k=0$ 通过这个公式我们就得到了 $B_n$ 的公式：

$B_n=\frac{-1}{n+1}∗(C_{n+1}^{0}∗B_0+C_{n+1}^{1}∗B_1+...+C_{n+1}^{n−1}∗B_{n−1}))$

**
那么我现在给出求 $1^k+2^k+...+n^k$ 的关于伯努利的公式：

$\sum_{i=1}^{n}i^k=\frac{1}{k+1}\sum_{i=1}^{k+1}C_{k+1}^{i}B_{[k+1−i]}(n+1)^i$

通过这个式子就可以在 $O(K)$ 的复杂度求出 $S(n,k)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MOD=1e9+7;
const int N=1010;
int c[N][N],inv[N];
LL B[N];
void init(int n)
{
    c[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {   c[i][0]=c[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
        c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%MOD;
    }
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        inv[i]=(LL)(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;

    B[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<i;j++)
        {
            B[i]=(B[j]*c[i+1][j]%MOD+B[i])%MOD;
        }
        B[i]=(B[i]*(-inv[i+1])%MOD+MOD)%MOD;
    }
}
// B[100]:94103270
LL Bnum(int n,int k)
{
    LL ans=0,tem=1;
    for(int i=1;i<=k+1;i++)
    {
        tem=tem*(n+1)%MOD;
        ans=(c[k+1][i]*B[k+1-i]%MOD*tem%MOD+ans)%MOD;
    }
    ans=(ans*inv[k+1]%MOD+MOD)%MOD;
    return ans;
}
LL pod(LL x,LL n)
{
    LL ret=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)ret=ret*x%MOD;
        x=x*x%MOD;
        n>>=1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    init(1005);
    int n,k;
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF)cout<<Bnum(n,k)<<endl;
}