uoj 348&LibreOJ 2340 [WC2018]州区划分状压dp+FMT

最新推荐文章于 2022-01-04 20:50:02 发布

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分类专栏：状压dp 集合幂级数

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集合幂级数

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本文探讨了一种针对特定图论问题的动态规划算法优化方案，通过使用或卷积技术将时间复杂度从O(3^n)降低至O(n^22^n)。该问题涉及图的点集划分及欧拉回路判断。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

给出一个n个点m条边的无向图，要求把点集分成若干个集合，满足每个集合非空且其导出子图中不存在欧拉回路。
给定一个数组 $w_i$ ，求对于所有合法的划分 $\{S_1,S_2..S_k\}$ ，下面式子之和：

(\prod i = 1 k \sum x \in S i w x \sum i j = 1 \sum x \in S j w x) p

$(\prod_{i=1}^k\frac{\sum_{x\in S_i}w_x}{\sum_{j=1}^i\sum_{x\in S_j}w_x})^p$

n≤21,0≤p≤2n≤21,0≤p≤2 $n\le21,0\le p\le2$

分析

$O(3^n)$ 的dp就十分显然了，现在考虑如何将其优化到 $O(n^22^n)$ 。
设 $g(S)=0/1$ 表示 $S$ 这个集合是否合法， $sum(S)$ 表示 $S$ 这个集合的权值和。
我们设 $f(i,S)$ 表示选了若干个集合出来，其中一个点可以在多个集合内，他们的并集为 $S$ ，且每个集合的元素数量和为 $i$ 时的贡献和。
显然 $f(n,2^n-1)$ 就是答案。
推一下不难发现转移

f (i, S) = \sum j \sum | T | = j \sum A [A | T = S] f (i - j, A) g (T) (s u m ( T ) s u m ( S )) p

$f(i,S)=\sum_j\sum_{|T|=j}\sum_{A}[A|T=S]f(i-j,A)g(T)(\frac{sum(T)}{sum(S)})^p$
现在就好办了，我们可以枚举一个

ii $i$ ，枚举一个

j

$j$ ，然后把

f(i−j)f(i−j) $f(i-j)$ 和

gg $g$ 进行或卷积就好了，其中要求

g

$g$ 中集合的大小均为

jj $j$ 。
如果把数组均保存为FMT后的形式，那么或卷积一次的时间复杂度是

O (2^{n})

$O(2^n)$ ，这时总的复杂度就是

O(n22n)O(n22n) $O(n^22^n)$ 了。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N=25;
const int M=2100005;
const int MOD=998244353;

int n,m,p,ny[4410005],sum[M],g[N][M],bin[N],f[N][M],cnt[M],fa[N],deg[N];
struct edge{int x,y;}e[N*N];

int find(int x)
{
    if (fa[x]==x) return x;
    else return fa[x]=find(fa[x]);
}

int ksm(int x,int y)
{
    int ans=1;
    while (y)
    {
        if (y&1) ans=(LL)ans*x%MOD;
        x=(LL)x*x%MOD;y>>=1;
    }
    return ans;
}

void FMT(int *f,int c)
{
    for (int i=0;i<n;i++)
        for (int j=bin[n]-1;j>=0;j--)
            if (j&bin[i]) (f[j]+=c*f[j-bin[i]])%=MOD;
}

bool check(int s)
{
    for (int i=0;i<n;i++) fa[i]=i,deg[i]=0;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x=e[i].x-1,y=e[i].y-1;
        if (!(s&bin[x])||!(s&bin[y])) continue;
        deg[x]^=1;deg[y]^=1;
        if (find(x)!=find(y)) fa[find(x)]=find(y);
    }
    int s1=0,s2=0;
    for (int i=0;i<n;i++) if (s&bin[i]) s1+=deg[i],s2+=(fa[i]==i);
    return s1||s2>1;
}

void prework()
{
    ny[0]=ny[1]=1;
    for (int i=2;i<=n*100*n*100;i++) ny[i]=(LL)(MOD-MOD/i)*ny[MOD%i]%MOD;
    for (int i=1;i<bin[n];i++) g[0][i]=check(i),sum[i]=sum[i-(i&(-i))]+sum[i&(-i)],cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);
    for (int i=1;i<bin[n];i++) sum[i]=ksm(sum[i],p),g[0][i]*=sum[i],g[cnt[i]][i]=g[0][i];
    for (int i=1;i<=n;i++) FMT(g[i],1);
}

void solve()
{
    f[0][0]=1;
    FMT(f[0],1);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (int j=1;j<=i;j++)
            for (int k=0;k<bin[n];k++)
                (f[i][k]+=(LL)f[i-j][k]*g[j][k]%MOD)%=MOD;
        FMT(f[i],-1);
        for (int j=0;j<bin[n];j++) f[i][j]=(LL)f[i][j]*ny[sum[j]]%MOD;
        FMT(f[i],1);
    }
    FMT(f[n],-1);
    printf("%d",(f[n][bin[n]-1]+MOD)%MOD);
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
    bin[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++) bin[i]=bin[i-1]*2;
    for (int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&e[i].x,&e[i].y);
    for (int i=0,x;i<n;i++) scanf("%d",&x),sum[bin[i]]=x;
    prework();
    solve();
    return 0;
}