[FMT] WC2018.州区划分

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本文探讨了2018年世界杯的城市分区问题，通过数学公式fi,S=∑fj,s×gS⊕s来描述选择不同城市ii进行分区的影响，其中fi,S表示选择了城市集合SS的答案，fj,s表示不同城市组合的贡献，gS⊕s表示子集和变换的计算。文章深入研究了如何优化分区策略。" 127089587,8753399,PHP中的全局与静态变量,"['PHP', '开发语言']

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

令 $f_{i,S}$ 表示选择了 $i$ 个城市进行划分，选择的城市集合为 $S$ 的答案

那么 $f_{i,S}=\sum f_{j,s}\times g_{S\oplus s}$

用子集和变换

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N=25,M=1<<21|10,P=998244353;

int n,m,p,w[N],tot[M],inv[M],ct[M];
int adj[N],f[N][M],g[N][M];

inline int Pow(int x,int y){
  int ret=1;
  for(;y;y>>=1,x=1LL*x*x%P) if(y&1) ret=1LL*ret*x%P;
  return ret;
}

int du[N];
int low[M];

inline int calc(int S){
  if(ct[S]==1) return 0;
  for(int i=1;i<=n;i++)
    if((S>>(i-1)&1) && (ct[adj[i]&S]&1)) return 1;
  int Q=S&-S,vis=S&-S;
  while(Q){
    int c=low[Q];
    Q^=1<<c-1;
    Q|=adj[c]&S&~vis;
    vis|=adj[c]&S;
  }
  return vis!=S;
}

inline void add(int &x,int y){
  x=x+y>=P?x+y-P:x+y;
}

inline void sub(int &x,int y){
  x=x-y<0?x+P-y:x-y;
}

inline void FMT(int *a){
  for(int i=1;i<(1<<n);i<<=1)
    for(int s=0;s<(1<<n);s++)
      if(s&i); else add(a[s|i],a[s]);
}

inline void IFMT(int *a){
  for(int i=1;i<(1<<n);i<<=1)
    for(int s=0;s<(1<<n);s++)
      if(s&i); else sub(a[s|i],a[s]);
}

int main(){
  freopen("walk.in","r",stdin);
  freopen("walk.out","w",stdout);
  scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
  for(int i=1,x,y;i<=m;i++)
    scanf("%d%d",&x,&y),adj[x]|=1<<y-1,adj[y]|=1<<x-1;
  for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
  for(int s=1;s<(1<<n);s++){
    low[s]=(s&1)?1:low[s>>1]+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
      if(s>>(i-1)&1) tot[s]+=w[i];
    tot[s]=Pow(tot[s],p);
    inv[s]=Pow(tot[s],P-2);
    ct[s]=ct[s>>1]+(s&1);
    g[ct[s]][s]=calc(s)*tot[s];
  }
  f[0][0]=1; FMT(f[0]);
  for(int i=1;i<=n;i++) FMT(g[i]);
  for(int i=1;i<=n;i++){
    int *c=f[i];
    for(int j=0;j<i;j++){
      int *F=f[j],*G=g[i-j];
      for(int s=0;s<(1<<n);s++) c[s]=(c[s]+1LL*F[s]*G[s])%P;
    }
    IFMT(c);
    for(int s=0;s<(1<<n);s++)
      c[s]=ct[s]^i?0:1LL*c[s]*inv[s]%P;
    if(i^n) FMT(c);
  }
  printf("%d\n",f[n][(1<<n)-1]);
  return 0;
}